专题集训：辅助线作法 讲练课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题集训：辅助线作法 新人教版初中八年级数学下学期 一、构造直角三角形 1. 如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13. 求证：AB⊥AD. 解：如图，延长AD至点F，使得AD＝DF，再连接CF，BF ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. ∴四边形ABFC为平行四边形. ∴AF＝2AD＝12，BF＝AC＝13. ∴AB2＝25，AF2＝144，BF2＝169. ∴AB2＋AF2＝BF2. ∴∠BAF＝90°. ∴AB⊥AD. 2. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经过C地沿折线ACB行驶. 现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶. 已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D， ∵∠A＝30°，∠B＝45°， ∴BD＝CD＝ AC＝5(千米). ∴AD＝ (千米). ∴AB＝BD＋AD＝(5＋5 )千米. ∵BC＝ (千米)， ∴AC＋BC＝(10＋5 )千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5 －(5＋5 ) ＝(5－5 ＋5 )(千米) . 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(5－5＋5 )千米. 3. 如图，A，B两村在河边CD的同侧，两村到河边的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，且CD＝3 km. 现要在河边CD上建一水厂向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2 000元. 请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最少，并求出此时铺设水管的总费用. 解：如图，延长AC至点E使AC＝CE，连接EB交CD于点O， 5×2 000＝10 000(元)， 答：总费用为10 000元. 此时费用最少，EB＝ ＝5(km)， 4. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°. 点A处有一所中学，AP＝160 m. 假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100 m以内(包括100 m)会受到噪声的影响. (1)该学校是否会受到噪声的影响？请说明理由； 答：会受到影响； ∴AE＝ ＝80 m＜100 m. 解：(1)如图，作AE⊥PN交PN于点E，∠NPA＝30°， ∴BC＝60＋60＝120(m)＝0. 12(km)， (2)若受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受到影响的时间有多长？ 解：(2)在MN上取点B和点C，且AB＝AC＝100 m， 由勾股定理得：BE＝CE＝60 m， t＝0. 12÷18×60＝0. 4(分钟). 答：学校受到影响的时间为0. 4分钟. 5. 如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN. (1)求证：CM＋CN＝ BD； ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝BC， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠A＝∠DCB＝45°. ∵DM⊥DN， ∴∠MDC＋∠CDN＝90°. 又∵∠MDC＋∠ADM＝90°，∴∠ADM＝∠CDN. ∴△AMD≌△CND(ASA). ∴CN＝AM. ∴CM＋CN＝AC＝ BA＝ BD＝ BD； (1)证明：如图1，连接CD. (2)如图2，若点M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系. ∠CDM＝∠BDN，CD＝BD，∠DCM＝∠DBN， 则△CDM≌△BDN(ASA). 如图2，连接CD， ∴CM＝BN. ∴CN－CM＝CN－BN＝CB＝ BD. (2)解：CN－CM＝ BD. 证明如下： 二、构造直角三角形斜边上的中线 6. 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，点H是AF的中点，那么CH的长是 ( ) A. 2. 5 B. C. D. 2 B 7. 如图，点E为▭ABCD外一点，且AE⊥EC，BE⊥ED. 求证：四边形ABCD是矩形. ∴AC＝BD. ∴▭ABCD为矩形.