2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训课件巧用勾股定理解决问题

专题特训　巧用勾股定理解决问题 类型一　巧用勾股定理解决网格问题 1. ★如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1. (1) 求四边形ABCD的周长及面积. (2) 连接BD,判断△BCD的形状. (1) 根据勾股定理,得AB==,AD== ,CD==,BC==2, ∴ 四边形ABCD的周长为AB+AD+CD+BC=+3+, 面积为5×5-×1×5-×1×4-12-×1×2-×2×4=14.5. (第1题) (2) ∵ BC=2,CD=,BD==5, ∴ BC2+CD2=BD2. ∴ △BCD是直角三角形. 求不规则图形的面积的方法 求不规则图形的面积时,常采用割补法,即先把不规则图形分割或拼补成规则图形,再利用规则图形的面积的和或差,求出不规则图形的面积. 类型二　巧用勾股定理解决古代数学问题 2. 《九章算术》中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D与门槛AB的距离都为1尺(1尺=10寸),其示意图如图所示,求AB的长. 如图,取AB的中点O,过点D作DE⊥AB于点E. 由题意,得OA=OB=AD=BC. 设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,DE=10寸,OE=CD=1寸,AE=(r-1)寸. 在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5. ∴ AB=2×50.5=101(寸). 类型三　巧用勾股定理解决折叠问题 3. 如图,将长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E. (1) 试判断△BDE的形状,并说明理由. (2) 若AB=6,BC=18,求△BDE的面积. (第3题) (1) △BDE是等腰三角形. 理由:由折叠,可知∠CBD=∠EBD. ∵ 四边形ABCD是长方形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠CBD=∠EDB. ∴ ∠EBD=∠EDB. ∴ BE=DE,即△BDE是等腰三角形. (2) ∵ 四边形ABCD是长方形, ∴ AD=BC=18,∠A=90°. 设DE=x,则BE=x,AE=18-x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2+AE2=BE2, ∴ 62+(18-x)2=x2,解得x=10. ∴ DE=10. ∴ S△BDE=DE·AB=×10×6=30. 类型四　巧用勾股定理解决最值问题 4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(0,7),(8,1),(x,0),且0<x< 8,连接AB,AC,BC. (1) 求线段AB的长. (2) 请用含x的代数式表示AC+BC的值. (3) 求AC+BC的最小值. (第4题) (1) 如图,过点B作BD⊥y轴于点D. 由题意,得AD=7-1=6,BD=8, ∴ 在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB===10. (2) 如图,过点B作BE⊥x轴于点E. 由勾股定理,易得AC+BC=+=+ . (3) 如图,作点B关于x轴的对称点F,连接AF,与x轴交于点C',过点F作FG⊥y轴于点G.易知当点C与点C'重合时,AC+BC的值最小,最小值为AF的长. 易得AG=AO+OG=AO+EF=AO+BE=8,FG=BD=8. 在Rt△AFG中,由勾股定理,得AF===8,即AC+BC的最小值为8. 类型五　巧用勾股定理解决动点问题 5. (2023·滁州定远一模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm, P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A出发,沿A→B方向运动,速度为2cm/s;点Q从点B出发,沿B→C→A方向运动,速度为4cm/s.两点同时开始运动,连接PQ,设运动时间为ts. (1) ① Rt△ABC斜边AC上的高为　　　　cm.  9.6 (第5题) [解析]在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC== =20(cm),∴ Rt△ABC斜边AC上的高为 =9.6(cm). ② 当t=3时,PQ的长为　　　　cm.  (2) 当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△BPQ是等腰三角形? (3) 当点Q在边AC上运动时,求所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值. 2 (第5题) ② [解析]当t=3时,AP=2t=6cm,BQ=4t=12cm.∵ AB=16cm, ∴ BP=AB-AP=16-6=10(cm).在Rt△BPQ中,由勾股定理,得PQ===2(cm). (2) 由题意,得AP=2tcm,BQ=4tcm. ∵ AB=16cm, ∴ BP=AB-AP=(16-2t)cm. ∵ 点Q在边BC上运动, ∴ 当△BPQ是等腰三角形时,则有BP=BQ,即16-2t=4t,解得t=. ∴ 出发s后,△BPQ是等腰三角形. (3)