7.3.1随机变量的均值课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的数字特征(均值) X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 离散型随机变量的分布列刻画了某个随机变量的取值规律，可用于确定与该随机变量相关事件的概率。 要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩； 要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则可考察这个班数学成绩的方差。 要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 离散型随机变量的分布列： 温故知新 1.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 把环数看成随机变量的概率分布列： X 1 2 3 4 P 权数（这里是频率） 加权平均 算术平均数 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较射中的平均环数， 如果平均环数相等，再看稳定性. 思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？ 探究新知 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，. 甲次射箭射中的平均环数为. 当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 探究新知 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 探究新知 假设乙射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，. 甲次射箭射中的平均环数为. 当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65，这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平. 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考3：上述两个平均值的计算有什么共性？ 稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 探究新知 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 离散型随机变量取值的均值 则称 课本例题 例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分；如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ X 1 0 P 0.8 0.2 X 1 0 P p 1－p 两点分布 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 10 练习 随机变量X的分布列是 X 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 若E(X)=7.5，则a=____，b=______. 0.4 0.1 巩固练习 深化理解 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值。 均匀分布 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 深化理解 观察图7.3-1可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕