5.1.2导数的概念及其几何意义（A卷）同步作业-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

( 小作业 · 大进步 训练 订正 反思 巩固 ) 5.1.2导数的概念及其几何意义同步作业练习（A卷） 知识点梳理 一 、导数的平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 二、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】 （1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. （2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关． 2、瞬时变化率的变形形式 三 、导数的几何意义 1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线． 2、导数的几何意义 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 同步练习 1、 单选题 1．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A．1 B． C． D． 2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在处的导数＝（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 8．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于 B．的图象在处的切线斜率小于 C．的图象在处位于轴上方 D．的图象在处位于轴下方 11．若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12．设函数满足，则 . 13．函数的图象在点处的切线方程为 ． 14．已知函数在点处的切线斜率为，则 . 4、 解答题 15．已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 16．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 17．已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 18．某一运动物体，在时离开出发点的距离（单位：m）是. (1)求在第s内的平均速度； (2)求在第s末的瞬时速度； (3)经过多少时间该物体的运动速度达到m/s? 19．求曲线上点处的切线方程． 参考答案 1．A 【分析】根据导数的定义可直接得到答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 根据导数的定义可知， 故选：A. 2．B 【分析】利用导数的几何意义，结合函数的图象，即可判断选项. 【详解】由函数的图象可知： 当时，单调递增，且增速变缓慢， ，表示直线的斜率， 根据导数的几何意义可知，， 故选：B 3．C 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】当自变量在处的改变量为时，平均变化率 . 可以看出，当无限接近于0时，无限接近于， 因此. 故选：C. 4．D 【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【详解】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 5．A 【分析】由导数的几何意义和函数的图象可得答案. 【详解】与分别表示在和处切线的斜率， 由图象得，且在处切线的斜率比处切线斜