专题7 半角模型（相似模型）-【浙江新中考】2024年中考数学常见几何模型专项复习讲义

专题7 半角模型（相似模型） 【知识梳理】 半角模型问题大家都遇到很多了，一个角与另一个角共顶点，且该角的大小是另一个角大小的一半，常见的是直角与45°角的组合。半角模型通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，即将这个半角绕顶点旋转或通过截长补短的方法，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等或相似。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型分析】 模型1.半角模型（相似模型） 1、 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 2、 模型特征：等线段，共端点，含半角 3、 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 4、 解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。 【模型展示】 1） 正方形半角模型 条件：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE，AF分别与BD相交于点M，N。 结论一：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 【证明】∵正方形ABCD， ∴∠ABN=45° ∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠BNA＝∠ANM， ∴△AMN ∽△BAN， 同理可证△AMN ∽△DMA， 结论二：△AMN∽△AFE； 【证明】∵正方形ABCD ∴∠MBE=∠MAN=45° ∵∠BME＝∠AMN（对顶角）， ∴△BME ∽△AMN， ∴∠BEM=∠ANM ∵EA平分∠BEF（见专题六 半角模型全等模型证明） ∴∠BEM=∠AEF ∴∠ANM=∠AEF ∴△AMN∽△AFE 结论三：△BAN∽△DMA； 【证明】∵正方形ABCD ∴∠ABN=∠ADM=45° ∵∠AMD=∠ABM+∠BAM ∠BAN=∠MAN+∠BAM ∴∠AMD=∠BAN ∴△BAN∽△DMA 结论四：； 【证明】连接AC， ∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB， ∴△ECA∽△NDA， 又∵△AMN∽△AFE， ∴. 【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到S△AEF=2S△AMN 结论五：△BME∽△AMN∽△DFN； 【证明】∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN（对顶角）， ∴△BME∽△AMN， 同理可证△DFN∽△AMN 结论六： 【证明】由结论三可得△DAM∽△BNA， ∴, 即. 结论七： 【证明】设DF=a，BE=b，AB=c，则CE=c-b，CF=c-a，EF=a+b， 在Rt△CEF中，， 化简得， ∴. 结论八：则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大. 【证明】如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF. ∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º， 设OP=PC=EF=x，则，，， ∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值. 结论九：则BN-DN=BE,DM-BM=DF 【证明】由结论8可得△△ECA∽△NDA， ∴,, ∵, ∴, 同理可得. 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 条件：已知∠BAC＝90°，； 结论一：△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA； 【证明】∵ 又∵∠AED=∠BEA ∴△ABE∽△DAE 同理△DAE∽△DCA 结论二：△ABE∽△DCA； 【证明】∵ 又∵∠ADC=∠ABC+∠BAD ∠BAE=∠DAE+∠BAD ∴∠ADC=∠BAE ∴△ABE∽△DCA 结论三：； 【证明】由结论一可得△ABE∽△DAE；△DAE∽△DCA； ∴, ∴ 结论四： （） 【证明】由结论二可得△ABE∽△DCA； ∴ ∴ ∵AB=AC ∴ （2） 含60°半角模型 条件：已知∠BAC＝120°，； 结论一：△ABD∽△CAE∽△CBA 【证明】∵∠BAC＝120° ∴∠B+∠C=60° ∵∠ADE=60° ∴∠B+∠BAD=60° ∴∠C=∠BAD ∵ ∴∠BDA=∠CEA=120° ∴△ABD∽△CAE∽△CBA 结论二：； 【证明】由结论一可得△ABD∽△CAE∽△CBA ∴, ∴ 结论三： （） 【证明】由结论一可得△ABD∽△CAE ∴ ∴ ∵ ∴AD=AE ∴ 【典型例题】 例1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 例2．如图，在等腰三