串讲03 平面向量（考点串讲）（10大考点）-【中职专用】高二数学期末复习大串讲（人教版2021·拓展模块一）

串讲03 平面向量 1、 知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1.向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． （2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量． （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量的共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 4.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，则，，， ． （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设，则，. 6.平面向量共线的坐标表示 设，其中，． 7.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． （2）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 8.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 9.向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a. （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 10.平面向量数量积的结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 四、常考题型探究 考点一 向量的概念 例1. 设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【变式探究】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二 向量的加减法 例2. 化简得（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 . 考点三 向量的数乘运算 例3. 已知向量，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】化简 . 考点四 平行向量基本定理 例4. 在中，点为边的中点，记，则 ． 【变式探究】已知，是两个不共线的向量，与共线，则实数 ． 考点五 向量的直角坐标运算 例5. 已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 例6. 已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式探究】已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与同向 D． 考点六 向量平行的充要条件 例7. 已知平面向量，且，则（   ） A． B． C．1 D．3 【变式探究】已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 考点七 向量的坐标公式 例8. 已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 例9. 已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D． 【变式探究】已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．3 考点八 向量数量积求模 例10. 已知向量，则 . 【变式探究】已知向量，若，则 . 考点九 向量数量积求夹角 例11. 已知平面向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，，若，则 ． 考点十 向量内积的