2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训课件平行四边形的性质与判定的综合

专题特训 平行四边形的性质与判定的综合 类型一 证明四边形是平行四边形 1. 如图,在 AFC中,∠FAC=45 ,FE⊥AC于点E,在EF上取一点B,连接AB, BC,使得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且AD=BC,连接CD.求证:四边形ABCD是平行四边形. (第1题) ∵ FE⊥AC, ∴ ∠FEA=∠FEC=90 . ∵ ∠FAC=45 , ∴ ∠AFE=90 -∠FAC=45 . ∴ ∠FAC=∠AFE. ∴ AE=FE. 在Rt AEB和Rt FEC中, ∴ Rt AEB≌Rt FEC. ∴ BE=CE. ∴ ∠CBE=∠BCE=(180 -90 ) 2=45 . ∵ AD⊥AF, ∴ ∠FAD=90 . ∴ ∠CAD=90 -∠FAC=45 . ∴ ∠BCE=∠CAD. ∴ BC∥AD. 又∵ BC=AD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 类型二 证明两直线平行 2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,E为AD上一点,连接EB并延长,使BF= BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG,H为FG的中点,连接DH,AF.求证: AF∥HD. (第2题) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∵ BF=BE,CG=CE, ∴ BC是 EFG的中位线. ∴ BC∥FG,BC=FG. ∵ H为FG的中点, ∴ FH=FG. ∴ BC∥FH,BC=FH. ∴ AD∥FH,AD=FH. ∴ 四边形AFHD是平行四边形. ∴ AF∥HD. 类型三 证明角相等 3. 如图,在 ABCD中,E是CD的中点,F是边BC上一点,且EF⊥AE.求证: ∠DAE=∠FAE. 小华同学读题后有一个想法,延长FE,AD交于点M,要证∠DAE=∠FAE,只需证 AMF是等腰三角形即可.请你参考小华的想法,完成此题的证明. (第3题) 如图,延长AD,FE交于点M. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠MDE=∠C,∠M=∠EFC. 又∵ E是CD的中点, ∴ DE=CE. ∴ EDM≌ ECF. ∴ EM=EF. 又∵ EF⊥AE, ∴ AE垂直平分MF. ∴ AF=AM,即 AMF是等腰三角形. ∴ ∠DAE=∠FAE. 类型四 求角的度数 4. 如图,在 ABCD中,O为对角线AC与BD的交点,AC⊥AB,E为AD的中点,并且OF⊥BC,∠ADC=53 ,求∠FOE的度数. (第4题) ∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AB∥CD,AD∥BC. ∴ ∠ACD=∠CAB,∠CAD=∠OCF. ∵ AC⊥AB,OF⊥BC, ∴ ∠ACD=∠CAB=∠OFC=90 . ∴ ∠ADC+∠CAD=90 ,∠FOC+∠OCF=90 . ∴ ∠FOC=∠ADC=53 . ∵ O为对角线AC与BD的交点, ∴ O为AC的中点. 又∵ E为AD的中点, ∴ OE是 ACD的中位线. ∴ OE∥CD. ∴ ∠COE=180 -∠ACD=180 -90 =90 . ∴ ∠FOE=∠FOC+∠COE=53 +90 =143 . 类型五 证明线段相等 5. 如图,在 ABCD中,BC=2AB,∠DCB的平分线交BA的延长线于点F,交AD于点E,连接BE. (1) 求证:DE=AE. (2) 若∠DAF=70 ,求∠BEA的度数. (第5题) (1) ∵ CF是∠DCB的平分线, ∴ ∠DCE=∠BCF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=DC. ∴ ∠DCE=∠F. ∴ ∠BCF=∠F. ∴ BC=BF. ∵ BC=2AB, ∴ BF=2AB. ∴ A为BF的中点. ∴ AB=AF. 又∵ AB=DC, ∴ DC=AF. 在 DEC和 AEF中, ∴ DEC≌ AEF. ∴ DE=AE. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥CB. ∴ ∠CBF=∠DAF=70 ,∠BEA=∠EBC. ∵ DEC≌ AEF, ∴ CE=FE. 又∵ BC=BF, ∴ ∠EBC=∠FBE=∠CBF=35 . ∴ ∠BEA=∠EBC=35 . 类型六 求线段的长 6. 如图,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1) 求证:四边形ABDE是平行四边形. (2) 若DA平分∠BDE,AB=3,AD=4,求AC的长. (第6题) (1) ∵ ∠ADE=∠BAD, ∴ AB∥ED. ∵ AE⊥AC, ∴ ∠EAC=90 . ∵ BD垂直平分AC, ∴ ∠BFA=90 . ∴ ∠EAC=∠BFA. ∴ AE∥BD. ∴ 四边形ABDE是平行四边形. 17 (2) ∵ DA平分∠BDE, ∴ ∠ADE=∠ADB. ∵ ∠ADE=∠