2024年中考数学（沪科版）二轮复习专题特训：构造全等三角形解题

专题特训　构造全等三角形解题 类型一　补形法 1. 如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 解：延长AD交BC于点E.∵ BD是∠ABC的平分线， ∴ ∠ABD＝∠EBD.∵ AD⊥BD，∴ ∠BDA＝∠BDE＝90°. 又∵ BD＝BD，∴ △BDA≌△BDE（ASA）.∴ ∠2＝∠BEA. ∵ ∠BEA＝∠1＋∠C，∴ ∠2＝∠1＋∠C. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB的中点，CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF. 解：如图，过点B作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°. （第2题答案） ∵ ∠ACB＝90°，CF⊥AD，∴ ∠CAD＋∠ADC＝∠BCG＋∠ADC＝90°. ∴ ∠CAD＝∠BCG.在△ACD和△CBG中，∵ ∴ △ACD≌△CBG（ASA）.∴ CD＝BG，∠ADC＝∠G. ∵ D为CB的中点，∴ CD＝BD.∴ BG＝BD.∵ 易得∠ABC＝45°， ∴ ∠FBG＝∠FBD＝45°.在△BFG和△BFD中，∵ ∴ △BFG≌△BFD（SAS）.∴ ∠G＝∠BDF.∴ ∠ADC＝∠BDF. 类型二　旋转法 3. 在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，连接AE，AF，EF. （1） 如图①，若四边形ABCD为正方形，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.a 解：（1） 如图①，把△ADF绕点A按顺时针方向旋转90° 得到△ABG，则AG＝AF，BG＝DF，∠GAF＝∠BAD＝90°， ∠ABG＝∠D.∵ 易得∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，∴ ∠ABG＝90°. ∴ ∠ABG＋∠ABE＝180°.∴ 点G在CB的延长线上. ∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠EAF＝∠GAF.∴ ∠EAG＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，∵ ∴ △AEG≌△AEF（SAS）. ∴ EG＝EF.∵ EG＝BE＋BG＝BE＋DF，∴ EF＝BE＋DF. （2） 如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 解：（2） （1）中的结论仍然成立.如图②，把△ADF绕点A按顺时针方向旋转∠DAB的度数得到△ABG，则∠D＝∠ABG， ∠GAF＝∠BAD，AG＝AF，BG＝DF.∵ ∠ABC＋∠D＝180°， ∴ ∠ABC＋∠ABG＝180°.∴ 点G在CB的延长线上. ∵ ∠EAF＝∠BAD，∴ ∠EAF＝∠GAF.∴ ∠EAG＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，∵ ∴ △AEG≌△AEF（SAS）. ∴ EG＝EF.∵ EG＝BE＋BG＝BE＋DF，∴ EF＝BE＋DF. 类型三　倍长中线法 4. 如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AE＝AD，F为CD的中点，试探究BE与AF之间的位置关系，并说明理由. 解：BE⊥AF.理由：如图，延长FA交BE于点H，延长AF至点G， 使FG＝FA，连接CG.∵ F为CD的中点，∴ CF＝DF. 在△CFG和△DFA中， ∵ ∴ △CFG≌△DFA（SAS）.∴ CG＝DA，∠G＝∠FAD. ∵ AB⊥AC，AD⊥AE，AE＝AD，∴ ∠BAC＝∠DAE＝90°，CG＝AE. ∴ ∠BAE＝360°－90°－90°－∠CAD＝180°－∠CAD. ∵ ∠ACG＝180°－∠CAF－∠G＝180°－∠CAF－∠FAD ＝180°－∠CAD，　 ∴ ∠ACG＝∠BAE. （第4题答案） 在△ACG和△BAE中，∵ ∴ △ACG≌△BAE（SAS）. ∴ ∠CAG＝∠B.∵ ∠BAH＋∠CAG＝180°－∠BAC＝90°， ∴ ∠BAH＋∠B＝90°.∴ ∠AHB＝90°.∴ BE⊥AF. （第4题答案） （第4题答案） 类型四　截长补短法 5. （2022·蚌埠期末）如图，AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E.求证：AB＝AC＋BD. 解：如图，在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF. ∵ EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，∴ ∠CAE＝∠FAE， ∠EBF＝∠EBD.∵ AC∥BD，∴ ∠C＋∠D＝180°. 在△ACE和△AFE中，∵ ∴ △ACE≌△AFE（SAS）. （第5题答案） ∴ ∠C＝∠AFE.∵ ∠AFE＋∠EFB＝180°， ∴ ∠EFB＝∠D.在△BEF和△BED中， ∵ ∴ △BEF≌△BED（AAS）. ∴ BF＝BD.∵ AB＝AF＋BF， ∴ AB＝AC＋BD. （第5题答案） 类型五　作垂线法 6. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，