2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 三角形中的边角关系、命题与证明

　三角形中的边角关系、命题与证明 ⁠ 考点一　三角形的三边关系 典例1　一个等腰三角形的周长为18cm. （1） 已知腰长是底边长的2倍，求三边长. （2） 已知其中一边长为4cm，求另两边长. 思路导引　（1） 设底边长为acm，则腰长为2acm，构造方程求解.（2） 设4cm为腰长或底边长，根据两种情况进行解答即可. 规范解答　（1） 设底边长为acm，则腰长为2acm. ∵ 这个等腰三角形的周长为18cm， ∴ 2a＋2a＋a＝18，解得a＝. ∴ 2a＝. ∴ 三边长是cm，cm，cm. （2） 当4cm为腰长时，设底边长为xcm. ∴ 4＋4＋x＝18，解得x＝10，此时，三边长是4cm，4m，10cm，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形. 当4cm为底边长时，设腰长为ycm. ∴ y＋4＋y＝18，解得y＝7，此时，三边长是7cm，7cm，4cm，符合三角形的三边关系. 综上所述，另两边长是7cm，7cm. 方法归纳 等腰三角形中求三边长的方法 　　在求解等腰三角形的边长问题时，要注意分类讨论.利用三角形的三边关系求出边长后，还要检验得到的三条线段能否组成三角形. 典例2　如图，O是△ABC内的一点，求证：OA＋OB＋OC＞（AB＋BC＋CA）. 思路导引　利用“三角形中任何两边的和大于第三边”进行证明. 规范解答　在△ABO中，由三角形的三边关系，可知OA＋OB＞AB. 同理，可得OA＋OC＞CA，OB＋OC＞BC. ∴ 2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA. ∴ OA＋OB＋OC＞（AB＋BC＋CA）. 方法归纳 线段不等关系的证明方法 　　一般地，当题目中出现证明线段的不等关系时，常利用三角形的三边关系进行证明，将要证明的线段转化到某一个三角形中，再根据“三角形中任何两边的和大于第三边”“三角形中任何两边的差小于第三边”列不等式解决. ⁠ 1. （2022·衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形.若a＝1，b＝3，则c的长可以是（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 一个三角形3条边的长分别为xcm，（x＋1）cm，（x＋2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 　　1＜x≤12　⁠.  3. （2022·安庆怀宁期末）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜. 解：∵ △ABC的三边长分别是a，b，c，∴ a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0.∴ ｜a＋b－c｜－2｜a－b－c｜＋｜a＋b＋c｜＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c. A 1＜x≤12　 考点二　三角形中的三条重要线段 典例3　如图①，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. （1） 在△BED中作边BD上的高EF. （2） 若△ABC的面积为60，BD＝5，求EF的长. 思路导引　（1） 直接利用三角尺作出三角形的高. （2） 利用三角形的中线平分三角形的面积及面积公式求出即可. 规范解答　（1） 如图②，EF即为所求作. （2） ∵ AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线， ∴ S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD. ∴ S△BDE＝S△ABC. ∵ △ABC的面积为60，BD＝5， ∴ ×5EF＝×60. ∴ EF＝6. 方法归纳 与中线有关的三角形面积计算 　　在三角形中计算面积时，常用到三角形的中线和三角形的面积公式，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个部分. ⁠ 4. 如图，在△ABC中，边BC上的高为（　A　） A. AD B. BE C. BF D. CG 5. （2022·六安霍邱期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2CD，E是AC的中点，AD，BE交于一点G，连接CG.已知△BGD的面积是8，△AGE的面积是3，则△ABC的面积是（　B　） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 A B 考点三　命题与证明 典例4　如图，现有以下3个论断：① BD∥EC；② ∠D＝∠C；③ ∠A＝∠F. （1） 请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2） 你构造的命题是真命题还是假命题？请说明理由. 思路导引　（1） 分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题.（2） 根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断其真假. 规范解答　（1） ① 由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F. ② 由BD∥EC，∠A＝∠F，得到∠D＝∠C.　 ③ 由∠A＝∠F，∠D＝∠C，得到BD∥EC.　 （2） ① “由BD∥EC，∠D＝∠C，得到∠A＝∠F”是真命题. 理由：∵ BD∥EC， ∴ ∠ABD＝∠C. ∵ ∠D＝∠C， ∴ ∠AB