微专题02 因式分解经典应用通关专练-2023-2024学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 因式分解经典应用通关专练 一、解答题 1．（2023下·浙江·七年级期中）解答下列问题： （1）当时，代数式______． （2）当______时，代数式的值为0； （3）求代数式的最小值． 2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图①，有三张卡片，分别为边长为、的长方形，边长为的正方形及边长为的正方形；    (1)用九张卡片拼成了如图②的一个大长方形， 用一个多项式表示图②的面积：______； 用两个整式的积表示图②的面积：______； (2)利用上述面积的不同表示方法，写出一个整式乘法或因式分解的等式：______； (3)如果用若干图①中的卡片，拼成了一个面积为的长方形，请求出这个长方形的边长； 3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）先阅读右侧的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （1）若，请问是什么形状？说明理由． （2）若xy=1()，且，求的值． （3）已知，，求的值． 4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．    (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 (2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个； (3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解） (4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值． 5．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点． (1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______． (2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值． 6．（2023下·江苏扬州·七年级统考期中）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： = ==== 问题解决： （1）请你按照上面的方法分解因式：； （2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽． 7．（2023下·江苏·七年级专题练习）求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数． 8．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn，(长度单位：cm)， (1)观察图形，发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果； (2)若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和． 9．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 10．（2023下·七年级单元测试）阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项 ，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若 a b 5 ， ab 6 ，求：①；② 的值． （3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．