6.6 直线与圆的方程的应用举例-【导学导练】2023-2024学年中职数学·基础模块下册（高教版2021）

第六单元 直线与圆的方程 【例3】 求直线x+2y-/5=0被圆(x-2)②+(y+1){}=4截得的弦长 解 圆心(2,-1),半径,-2. 12-2-51-1. 圆心到直线x+2y-5-0的距离d- 1{+2 所以所求的弦长为2 r-d^}-22{-1^{}-2③ 【评注】 弦长的一半,圆半径,圆心距构成直角三角形,应用勾股关系求解 【素养提升】 已知直线x-y十a=0与圆心为C的圆x+y{+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC 1BC,求实数a的值 86.6 直线与圆的方程的应用举例 课标引领 初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问题的方法 短 学时建议 一学时:通过数学建模,解决与直线方程和圆的方程有关的实际问题 教材析 在解析几何应用题时,首先要注意对题目的阅读理解,分析其含义;其次是寻找和整理数 据,建立数学模型,寻求几何元素之间的关系,抓住几何特征方程或方程组;最后解方程或方 程组. 习热身 1.圆x十-2x-3的周长为 ,面积为 2. 从点P(1,1)射出一条光线,经过x轴上M点反射后过点Q(-1,3),则反射点M的坐 标为 3.圆x*+v-2上的点到直线3x十4y+25-0的最短距离为 4.△ABC的三个顶点A(2,2),B(5,3),C(3,一1),则它的外接圆的半径为 5.方程x二一1一y表示的曲线为 27 导学导练·数学·基础模块(下册) 1 精例点拨 【例1】 某圆拱桥的示意图如下,该圆拱的跨度AB为36m,拱高OP是6m,每隔6m需 要一个支柱支撑,求支柱CD的长度(精确到0.01m). 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为原点,建立直角坐标系,则图中A(一18,0) B(18,0),P(0,6),C(6,0),由题意可设圆拱所在的圆的方程为x②十y2+Dx+Ey+F=0.将A, f18-18D+F-0. (D-0. B,P的坐标代入方程得18{}+18D+F-0,解得{E=48, 所以所求圆的方程为x^2}十y{十 6十6E十F-0. .F--324. 48y-324-0,因为点D的横坐标为6,所以点D的纵坐标为5.39. 答:支柱CD的长约为5.39m. 【评注】 根据图形的对称性,建立恰当的平面直角坐标系,建立数学模型求解, 【素养提升】 求例1中支柱EF的长度(精确到0.01m). 【例2】 已知入射光线通过点A(2,3),经直线x十v十1一0反射,其反射光线经过点 B(1,1),求入射光线所在直线的方程. 解 设B点关于直线x十y十1-0的对称点B’(x。,y。), 。-1 ×(-1)--1, 。-1 则{ 解之/。二-2. {(#。t1)#(#1)10# 。--2. 所以B'(-2,-2). 由已知,入射光线过点A(2,3)与点B'(一2,一2). 所以入射光线所在直线的方程为5x-4y+2一0. 【评注】 由题意先求点B关于已知直线的对称点B',则AB'为入射光线所在的直线 28 第六单元 直线与圆的方程 【素养提升】 光线从A(-3,5)射到直线/:x-y+4-0上发生反射,反射光线过点B(0,2),求反射光 线所在直线的方程 【例3】 方程y-1-v4一x^*②表示的曲线是 (x2+(y-1)②-4, 解 由题意,方程y-1-4一^{}可化为 -1二0. 所以方程y一1一 4一x^表示以(0,1)为圆心、半径为2的上半圆. 【评注】 转化方程,辨别方程表示的曲线形状,应注意方程中变量x,v的取值范围 【素养提升】 方程x-2-/4-y②表示的曲线是 小结与复习 课标引领 1. 掌握两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、点到直线的距离公式 2. 掌握直线的点斜式和斜截式方程,了解直线方程的一般式形式,掌握直线的斜截式方 程与一般式方程之间的互化 3. 掌握两条直线的位置关系的判定方法 4. 掌握圆的标准方程,了解二元二次方程表示圆的条件和圆的一般方程. 5. 理解判断直线与圆的位置关系及判定方法,初步掌握直线与圆相交时弦长的求法及圆 的切线的求法 6. 初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问题的方法 学时建议 一学时:复习两点间的距离公式、中点公式、斜率公式、直线方程的几种形式、两条直线的 位置关系、点到直线的距离公式、圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位 置关系等. 救材透析 1.两点A(x,y),B(x,y),它们的距离公式为| ABl= (x-x)+(y-y)^{} 29导学导练·数学·基础模块（下册） 【例3】【素养提升】(x+1)2+(y一2)”=4. 所以A'1,1). §6.5 直线与圆的位置关系 反射光线为ABkm-名号-1 所以反射光线所在的直线方程为：y=一x十2即x十 【预习热身】 y-2=0. 1.相离2.03.x十y-2=04