6.5 直线与圆的位置关系-【导学导练】2023-2024学年中职数学·基础模块下册（高教版2021）

第六单元直线与圆的方程 【评注】配方将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心和半径后再求解. 【素养提升】 求与x2十y2十2.x一4y=0圆心相同，并且与x轴相切的圆的方程. §6.5 直线与圆的位置哭系 课标引领 会根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. 学时建议 学时：学习判断直线与圆的位置关系的方法，会求圆的切线方程，会求直线与圆的相交 弦长 好E 凝材透折 1.直线与圆的位置关系. 设直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (1)几何方法. 圆心(ab)到直线Ar十Bw十C=0的距离d=Aa十B6+C⊥.当d>r时，直线与圆相 √/A2+B2 离：当d=r时，直线与圆相切：当d<r时，直线与圆相交 (2)代数方法。 直线与圆的方程联立，若方程组无解，则直线与圆相离；若方程组仅有一组解，则直线与圆相 切：若方程组有两个不同的解，则直线与圆相交 2.圆的切线方程. (1)过圆x2十y2=r2上一点(xoy0)的切线方程为xnx+yoy=r2. (2)已知圆外一点P(x1,y:),求过P的切线方程，可设切线方程为y一y1=k(x一x1),再利 用圆心到切线的距离等于半径（或联立方程，令△=0），求出k,但要注意切线有两条，若只求出 一条，则另一条与x轴垂直，注意不要漏解。 3.圆的弦长问题. 直线Ax+By十C=0与圆(x一a)2十(y一b)=r2相交所得的弦为MN,圆心(a,b)到直 线Ax+By+C=0的距离为d,则弦长IMN=2r2一d2. 250 导学导练·数学·基础模块（下册） 预司热身 1.直线x+y-4=0与圆x2+(y-3)2= 的位置关系是 2.直线y=kx十1与圆x2十y2=1相切则k= 3.过点M(1,1)且与圆x2十y2=2相切的直线方程为 4.直线y=x被圆(x一1)2+y2=2截得的弦长为 5.直线3x+4y一4=0和圆x2十y2+2x一2y=0的位置关系是 精例点核 【例1】 判断直线3x一4y-2=0与圆(x一1)2+(y+1)2=2的位置关系. 解 圆的圆心为(1，一1)，半径为2 圆心到直线的距离4=」3+4一21 =1<r=2 32+(-4)7 所以直线3x一4y一2=0与圆(.x一1)+(y+1)2=2相交 【评注】判断直线与圆的位置关系时，优先选择几何法，通过比较圆心到直线的距离d与 半径r的大小来确定其相交、相切还是相离. 【素养提升】 已知圆C的方程为x2+y=3,直线1：y=x+b,问：当b为何值时，直线与圆相交、相切、相离？ 【例2】求过点P(-1,4),且与圆(x一2)+(y一3)2=1相切的直线方程. 解由题意得，圆的圆心为(2,3)，半径为1，点P不在圆上. 设切线方程为y一4=k(x十1)，即kx一y十k十4=0. 国心到直线的距离为d-2欢一3十+4=3欢+1三1，解得k=0或一 √k2+1 √k2+1 所以所求的切线方程为y一4=0或3.x十4y一13=0. 【评注】过圆外一点求该圆的切线方程时，要注意应有两条切线，若只求出一个斜率k的 值，应补上斜率不存在的另外一条切线的方程， 【素养提升】 求经过点P(2,2)且与圆x2+y2一2x=0相切的直线方程. 26 第六单元直线与圆的方程 【例3】求直线x+2y一√5=0被圆(x一2)2+(y+1)2=4截得的弦长. 解圆心(2，-1)，半径r=2 圆心到直线x十2)-5=0的距离d=12-2-51=1, 1+22 所以所求的弦长为2√r2-d=2√22-1=23. 【评注】弦长的一半，圆半径，圆心距构成直角三角形，应用勾股关系求解. 【素养提升】 已知直线x-y十a=0与圆心为C的圆x2+y2十2x-4y一4=0相交于A,B两点，且AC ⊥BC,求实数a的值. §6.6 直线与圆的方程的应用举例 课标引领 初步掌握用直线方程与圆的方程解决实际问题的方法. 学时建议 学时：通过数学建模，解决与直线方程和圆的方程有关的实际问题. 教材透折 在解析几何应用题时，首先要注意对题目的阅读理解，分析其含义；其次是寻找和整理数 据，建立数学模型，寻求几何元素之间的关系，抓住几何特征方程或方程组：最后解方程或方 程组. 好切 预习热身 1.圆x2十y2一2.x=3的周长为 ,面积为 2.从点P(1,1)射出一条光线，经过x轴上M点反射后过点Q(一1,3)，则反射点M的坐 标为 3.圆x2十y2=2上的点到直线3.x十4y十25=0的最短距离为 4.△ABC的三个顶点A(2,2),B(5,3),C(3,一1)，则它的外接圆的半径为 5.方程x=一√/1一y2表示的曲线为 270导学导练·数学·基础模块（下册） 【例3】【素养提升】(x+1)2+(y一2)”=4. 所以A'1,1). §6.5 直