7.1.2 复数的几何意义 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的几何意义 1 【知识回顾】 【知识回顾】 【知识回顾】 上节课我们学习了“数系的扩充和复数的概念”，了解到人们对虚数的认识经过了漫长的历史，虽然1545年就出现了负数开方问题.但是到了1637年,笛卡尔仍认为负数开方是“不可思议的”,称这样的数为“虚数”，意思是想象中的数. 正是因为虚数是如此的虚无缥缈，人们就想找到一些证据证明他的存在，于是纷纷寻找复数的直观表示。而直到1799年高斯给出了复数的几何解释,并有了广泛应用,人们才接受了复数. 【新知引入】 请大家回忆一下实数的几何意义是什么呢？ 【新知引入】 类比实数，探究复数是否能也用点来表示？ 【新知引入】 【新知引入】 z= a+bi 一 一对应 一 一对应 Z(a, b) 一 一对应 有序数对(a, b) x y a b 【构建新知】 x y a 实轴 实轴上的点都表示实数. 除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. b 虚轴 复平面 复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 1.复数的几何意义1 ——复数的几何表示 O 就像之前所说，在复数的几何解释出现之前，虚数对于人们来说，还是“奇妙的人类精神的寄托”，从开始注意到虚数一直到彻底认清它的真正面目，人们整整耗费了几百年的时间．期间，众多杰出的数学家面对这个问题竟然全都束手无策，这种现象在整个数学历史上也是不多见的．但是在有序实数对和平面直角坐标系的帮助下，我们把“虚”化为“实”，从此复数也就不再显得那么虚无缥缈了，我们对数的认识也从“一维数轴”拓展“二维复平面”，看似简单，其实是人类历史上的大飞跃。 x y a b 一 一对应 z= a+bi 一 一对应 Z(a, b) 一 一对应 【构建新知】 O 【构建新知】 2.复数的几何意义2 x y a b O 复数z=a+bi可用向量 表示 ——复数的几何表示 x y a b 【构建新知】 为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成是点Z或向量 ，并且规定相等的向量表示同一个复数. y O b a x Z:a+bi 【构建新知】 3.复数的模 思考：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点有怎样的关系？ 互为共轭复数的两个复数有什么是相同的？ 关于实轴对称 实部相同，虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭 复数也叫做共轭虚数. 【构建新知】 4.共轭复数 模相等 (a,b) (a,-b) (a,b) (a,-b) y x O 【例题分析】 【例题分析】 【例题分析】 所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界 【例题分析】 【课堂练习】 请你写出右图复平面内点N以及向量 所表示的复数 -1+2i -2-i O 【归纳小结】 重点：复数的几何意义 概念：复平面、实轴、虚轴 复数的模 共轭复数 基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标 由复数相等的概念可知 任何一个复数都是由两个实数唯一确定的 由于分别对应了复数的实部，虚部 所以实际上复数的本质是一对有序实数对 复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 复数 有序实数对点 复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系 复数 点 向量 设复数对应的向量为，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作或者 如果，则=， 这表明复数绝对值是实数绝对值概念的推广。 复数的共轭复数记做，即：如，那么 （1） 如图，复数对应的点分别为, 所对应的向量分别为 （2） 所以 【例1】设复数 ． （1）在复平面内画出复数 对应的点和向量； （2）求复数 的模，并比较它们的模的大小． （1） 由复数的几何意义可知，，即向量的长度为1， 即表示点到原点的距离为1 所以点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆. 【例2】设,在复平面内对应的点为,那么满足下列条件的的集合是什么图形 （1）;（2） 我们上面已经分析了等式的对应的图形， 那么不等式对应的图形是什么呢？ （2）不等式1<|z|<2可以化为不等式组 【例2】设,在复平面内对应的点为,那么满足下列条件的的集合是什么图形 （1）;（2） 【例2】设,在复平面内对应的点为,那么满足下列条件的的集合是什么图形 （1）;（2） $$