专题6.4 平面向量的应用--几何、物理（2知识点+6考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 平面向量的应用--几何、物理 知识点一 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行． (3)证明线段的垂直问题． (4)求与夹角相关的问题． (5)向量的坐标法 知识点二 向量在物理中的应用 (1)力向量 (2)速度向量 (3)力做功 考点01 线段的垂直问题 【典例1】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【典例2】（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【总结提升】 判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)　． 考点02 线段相等、平行问题 【典例3】（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【典例4】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【总结提升】 证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) 考点03 夹角相关的问题 【典例5】（22-23高一下·福建厦门·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    【典例6】（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 利用向量的夹角公式cosθ＝． 考点04 线段的长度问题 【典例7（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例8】（2022高三·全国·专题练习）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 【总结提升】 转化成向量模的计算问题． 考点05 向量的坐标法与平面几何问题 【典例9】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC． 【典例10】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM? 【总结提升】 1.借助平面直角坐标系将平面几何问题转化为向量问题解决，是解决平面几何问题的一种重要方法． 2．建立平面直角坐标系的原则，应尽量多的使图形顶点及边落在原点或坐标轴上． 考点06 向量在物理中的应用 【典例11】（23-24高一下·河南周口·开学考试）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，．与的夹角为，则的大小为 . 【典例12】（2024高一下·全国·专题练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【总结提升】 (1)力向量:力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． (2)速度向量:速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度． (3)力做功问题. 1．（2006·陕西·高考真题）已知非零向量和满足，且，则为(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 2．（2003·天津·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 一、单选题 1.．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 4．（2023高二下·浙江温州·学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则