专题6.5平面向量的应用—正弦定理、余弦定理（4知识点+14考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题6.5平面向量的应用—正弦定理、余弦定理 知识点一 余弦定理 1.定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2.公式：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 3.变形：cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4.利用余弦定理及其推论解三角形的类型 (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角． 5．余弦定理和勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角 知识点二 正弦定理 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．变形结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 3．解三角形 （1）一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__解三角形__． （2）利用正弦定理及其变形解三角形的类型 ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． （3）已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数： ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． ②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 知识点三 三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长． 知识点四 正弦定理、余弦定理实际应用问题 1.解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似． (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比． 2.距离问题的类型及解法 (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 3.测量高度的方法 对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．构造三角形的方法常见的有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解 4.测量角度问题 （1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． （2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 5.生产生活实际问题：读懂题意，画出示意图，根据示意图得出三角形中的关系，根据正、余弦定理及平面几何知识求解． 考点01 余弦定理的应用--边角计算 【典例1】（2024·四川成都·二模）在中，，则（    ） A． B． C． D．7 【典例2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在锐角中，若，则角 ． 【总结提升】 边和角的求值问题，需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理. 考