专题突破：极化恒等式与向量数量积（3大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破：极化恒等式与向量数量积 一、极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式： （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 二、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 三、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 题型一 求向量数量积的定值 【例1】（2023高三·全国·专题练习）在中，是边上的中点，且，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则 . 【变式1-2】（22-23高一下·天津·月考）如图，在中，，分别为边，上的中线，且与的夹角为，，，则的值为 . 【变式1-3】（22-23高一下·贵州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【变式1-4】（22-23高一下·江苏徐州·月考）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． （1）若AD＝6，BC＝4，求的值； （2）若，，求的值． 题型二 求向量数量积的最值范围 【例2】（22-23高一下·河南商丘·月考）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·广西·开学考）（多选）在中，，则的值可能是（ ） A．0 B．2 C．4 D．13 【变式2-2】（22-23高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 . 【变式2-3】（2023·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（22-23高一下·湖南长沙·月考）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为 ． 【变式2-5】（22-23高一下·浙江宁波·月考）在三角形中，是的中点． （1）求在上的投影向量； （2）若，求的取值范围． 题型三 与向量数量积有关的问题 【例3】（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-1】（22-23高一下·福建福州·期中）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）已知点为的外心，且，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角