专题突破：奔驰定理与三角形面积问题（4大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破：奔驰定理与三角形面积问题 1、奔驰定理：是内的一点，且， 则 2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，， 求证：. 延长与边相交于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 所以. （3）奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． （4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型一 直接使用奔驰定理解决面积问题 【例1】（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式1-1】（22-23高一下·河北承德·阶段练习）已知为内一点，满足，则和的面积比为 【变式1-2】（22-23高一下·四川成都·期末）已知O是所在平面内一点，，则与的面积比 ． 【变式1-3】（22-23高一下·全国·单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【变式1-4】（22-23高一下·福建泉州·期中）已知点O为正所在平面上一点，且满足，点M为正所在平面上一点，若的面积与的面积比值为1∶4，且，则面积的与的面积的比值为 ． 题型二 变形使用奔驰定理解决面积问题 【例2】（22023高一下·宁夏银川·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 【变式2-3】（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（22-23高一下·河南信阳·期中）已知O是内部的一点，且，和的面积分别是，若，则 . 题型三 奔驰定理与三角形的四心 【例3】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-1】（2023高三·全国·专题练习）在中，若，则点是的（ ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【变式3-2】（22-23高一下·黑龙江·期末）（多选）已知点在所在平面内，则（ ） A．满足时，是的外心 B．满足时，是的重心 C．满足时，是的内心 D．满足时，是的垂心 【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，点满足，若，，则的最大值为 . 【变式3-4】（20-21高一下·云南昆明·阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足. （1）证明：点为的垂心； （2）证明：. 题型四 奔驰定理的综合应用 【例4】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一下·浙江·月考）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似