专题突破：向量的最值与范围问题（4大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破：向量的最值与范围问题 平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 题型一 数量积的最值与范围 【例1】（22-23高一下·河北石家庄·期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向，，，， ，若，则的最大值为（ ） A．8 B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一下·河南省·阶段练习）中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 【变式1-3】（22-23高一下·湖北恩施·期末）如图所示， 边长为 1的正 ， 以 的中点 为圆心， 为直径在点 的另一侧作半圆弧 ， 点 在圆弧上运动， 则 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024高一下·全国·专题练习）（1）在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； （2）在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值； 题型二 向量模长的最值与范围 【例2】（22-23高一下·福建漳州·期中）已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·辽宁大连·期末）平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ． 【变式2-4】（22-23高一下·广西南宁·期中）在中，已知，，，点满足（），其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型三 向量夹角的最值与范围 【例3】（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【变式3-2】（22-23高一下·广西河池·期末）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·全国·阶段练习）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型四 向量系数的最值与范围 【例4】（22-23高二下·湖南郴州·期末）如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一下·重庆·期末）△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点