1.5.1第二课时 投影和数量积的运算律及应用　教学设计-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

课题 1.5.2 投影和数量积的运算律及应用 编号 必修 第二册 第一章 第5节 共3课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 课标要求 1. 理解投影的概念. 2. 掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 3. 会用数量积的运算律进行计算或证明. 教学目标 1. 通过几何直观，了解投影向量及其几何意义，进而了解向量投影的概念. 2. 通过类比向量线性运算的运算性质和数的乘法运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明. 3. 会利用数量积的运算性质和运算律计算平面向量的数量积. 4. 渗透数形结合、分类讨论等数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学抽象和逻辑推理的核心素养. 核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模 教学重点 通过几何直观，了解投影向量的几何意义及向量投影的概念，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律. 教学难点 投影向量表达式的推导，数量积满足的运算律中“分配律”的证明，运用数量积的性质和运算律进行相关的运算和判断. 教学方法 启发式教学，小组合作探究学习． 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 填一填： （1）公式 ； （2）的取值范围是 ； （3）如图，在中， ； . （4） ； ； ； . 复习数量积的公式和向量夹角的范围，为本节课投影和数量积的运算律的学习奠定基础；复习三角函数，为探索投影向量作铺垫. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 新知探究（一）：投影 阅读课本并整理：什么是投影向量？投影向量是向量吗？什么是投影长？什么是向量投影？向量投影与投影向量一样吗？ 试试：如图，已知向量，两个向量的夹角为，过点作于点，则 ，其中 与共线. (1) 在方向上的投影向量是 ； (2) 在方向上的投影长是 . (3) 投影长如何计算？ (4) 设是方向上的单位向量，则，，填写下表。 ，方向 在所有情况下，投影向量 . (5) 在方向上的投影是 ，它的几何意义是什么？ (6) 几何意义是什么？ (7) 在方向上的投影是 ，如何用数量积计算？ (8) 在方向上的投影是 ，如何用数量积计算？ 例1. 已知，，， （1）求向量在向量方向上的投影. （2）求向量在向量方向上的投影. 新知探究（二）：数量积运算律 问题：数的乘法，满足交换律、结合律和分配律，那向量的数量积是否也满足上面的运算律？ 试试：设，是任意向量，是任意实数，则如下运算律成立： (1) 交换律：. 你能证明吗？ (2) 与数乘的结合律：. 你能证明吗？ 提示：当时，；当时，，想想为什么？ (3) 分配律：.你能证明吗？ 思考： (1)对于任意实数，，有，对于任意向量是否也有成立？你能说明理由吗？ (2)已知实数，，则，对于向量是否也有成立？你能说明理由吗？ 例2．求证：菱形的两条对角线互相垂直. 已知：如图所示，四边形是菱形. 求证：. 思考：成立吗？如果，得到什么等式？作出向量，，你得到的等式代表的几何意义是什么？ 例3． 已知，，与的夹角为，求). 通过填空和问题的方式降低难度，引导自主思考，从而正确理解投影向量，投影长，向量投影的概念及它们之间的关系. 通过例1的学习，加深学生对向量投影的概念的理解. 类比数的乘法的运算律，探究数量积的运算律，加深对数量积定义及几何意义的理解. 通过例2和例3的练习，加深对数量积的定义、数量积的运算律的理解. 课堂练习 练习1. 在中，已知，，，求： （1）在方向上的投影； （2）在方向上的投影. 练习2. 运用数量积知识证明下列几何命题： (1) 在中，，则. (2) 在矩形中，. 练习1强化向量投影的理解和计算. 练习2强化数量积的定义及其运算律的理解. 总结提升 本节课学习了一些？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P39习题1.5第3、4题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P40习题1.5第13题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科