第5讲 利用导数研究函数的公切线问题讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数系统班-同步 第5讲 利用导数求解函数的切线（3） 知识点一 利用导数求解公切线问题 例1 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 例2 已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则 ． 练1 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 练2 已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 练3 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 知识点二 与公切线有关的参数问题 例1 已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 例2 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 例3 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ． 练1 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 练2 若曲线与曲线在交点处有公切线，则 . 练3 已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 练4 已知曲线与曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，则a的值为 . 练5 若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【强化训练】 1.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 2.函数的图象与函数的图象的公切线的方程为 . 3.已知直线是曲线与的公切线，则 . 4.已知曲线与的公切线为，则实数 . 5.已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数 . 6.在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$导数系统班-同步 第5讲 利用导数求解函数的切线（3） 知识点一 利用导数求解公切线问题 例1 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【答案】A 【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可. 【详解】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A 例2 已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则 ． 【答案】/ 【分析】设与的图象交点为，再根据导数的几何意义列方程化简求解即可. 【详解】设与的图象交点为，则，即，故. 又则，解得，则. 故答案为： 练1 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 练2 已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解. 【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，， 消去得， 故或，所以直线l的方程为：或． 故答案为：或 练3 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】设直线与曲线相切于，表示出切线方程；设直线与曲线相切于，表示出切线方程.利用两个方程相同建立方程，解出m，进而求出. 【详解】由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 所以，消去s，整理得：，解得：，所以. 所以斜率. 故答案为： 知识点二 与公切线有关的参数问题 例1 已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【答案】 【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出. 【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，. 因为，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为 因为该公切线过原点，所以，解得. 故答案为： 例2 若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值. 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的