第4讲 利用导数求函数过点切线方程 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数系统班-同步 第4讲 利用导数求解函数的切线（2） 知识点一 过点切线方程 例1 过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例2 已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 练1 已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 练2 写出曲线过坐标原点的切线方程 . 练3 已知曲线，求 (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程； (3)曲线平行于直线的切线方程. 知识点二 参数范围问题 例1 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 例2 对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练1 已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 练2 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练3 若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 . 练4 已知函数．若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围． 【强化训练】 1.已知函数． (1)求过原点的切线方程； 2.求过点且与曲线相切的直线的方程． 3.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 5.设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6.对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$导数系统班-同步 第4讲 利用导数求解函数的切线（2） 知识点一 过点切线方程 例1 过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 例2 已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)和 【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 练1 已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，设切点为，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由可得，， 由导数的几何意义可得，切线的斜率， 因为，所以切线方程为， 将点代入，得， 即，得， 解得或， 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即， 所以切线方程为或. 故答案为：或 练2 写出曲线过坐标原点的切线方程 . 【答案】或 【分析】设出切点坐标，利用导数列方程，求得切点和斜率，进而求得切线方程. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或 练3 已知曲线，求 (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程； (3)曲线平行于直线的切线方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方