7 数学广角——植树问题（讲义）-2023-2024学年五年级上册数学人教版

2024年人教版五年级上册数学 第七章 数学广角——植树问题 讲义 一、基础知识讲解 植树问题是一类经典的数学问题，它涉及到了线段上的点的分布问题。根据植树的方式和线段两端是否植树，我们可以将植树问题分为三种情况： 1. 两端都植树：线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1 2. 一端植树，一端不植树：线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 3. 两端都不植树：线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 - 1 需要注意的是，这里的“线段长度”指的是总距离，“间距”指的是两棵树之间的距离。 二、例题解析 例题1： 一条长20米的路，每隔5米种一棵树，两端都种，一共要种多少棵树？ 解析： 根据植树问题的第一种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1。 代入已知数值，点数 = 20 ÷ 5 + 1 = 5。 所以，一共要种5棵树。 例题2： 一个圆形花坛周长30米，在花坛周围每隔3米摆放一盆花，一共摆放了多少盆花？ 解析： 这个问题可以看作是线段上植树的问题，只不过线段是圆形的。我们依然可以使用植树问题的公式进行计算。 根据植树问题的第一种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1。 代入已知数值，点数 = 30 ÷ 3 + 1 = 11。 所以，一共摆放了11盆花。 例题3： 一座桥长300米，在桥的两边每隔50米安装一盏路灯，两端不安装，一共要安装多少盏路灯？ 解析： 这个问题属于植树问题的第三种情况，即两端都不植树。 根据植树问题的第三种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 - 1。 但需要注意的是，因为是在桥的两边都安装路灯，所以实际的路灯数量需要乘以2。 代入已知数值，一边的路灯数量 = 300 ÷ 50 - 1 = 5盏。 所以，两边的路灯总数 = 5 × 2 = 10盏。 三、表格总结 植树情况 计算公式 两端都植树 线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1 一端植树，一端不植树 线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 两端都不植树 线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 - 1 四、考法技法提炼 1. 理解题意：首先，要仔细阅读题目，明确是哪种植树情况，即两端是否植树。 2. 选择公式：根据植树情况，选择相应的公式进行计算。 3. 代入数值：将题目中给出的线段长度和间距代入公式进行计算。 4. 检查答案：最后，检查答案是否合理，是否符合题目的实际情况。 五、易错题解析 易错点1： 混淆植树情况 有些题目在描述植树情况时可能会比较模糊，导致学生在选择公式时出错。例如，题目可能会说“在一段路上每隔多少米种一棵树，路的两头不种”，这时候学生可能会误以为是两端都不植树的情况，但实际上应该是两端都植树，只不过两头不种。 易错点2： 忽视实际情况 在解决植树问题时，有时候需要考虑到实际情况。例如，如果题目说“在一段路上每隔5米种一棵树”，那么实际上第一棵树应该是在起点处就开始种的，而不是在起点后5米处。这个细节如果不注意，就会导致计算错误。 六、针对练习 1. 填空题 (1) 一条长100米的跑道，每隔20米放一个垃圾桶，两端都放，一共要放多少个垃圾桶？ (2) 一个圆形花坛周长60米，在花坛周围每隔6米放一盆花，一共放了多少盆花？ 2. 选择题 (1) 一条长24米的走廊，每隔3米放一盆花，两端不放，一共要放多少盆花？ A. 7盆 B. 8盆 C. 9盆 (2) 一座桥长400米，在桥的两边每隔20米安装一盏路灯，两端也安装，一共安装了多少盏路灯？ A. 40盏 B. 41盏 C. 42盏 3.计算题 (1) 一段公路长500米，在公路的一边每隔10米种一棵树，两端都种，一共种了多少棵树？ (2) 在一个周长为80米的正方形花坛的每条边上每隔4米放一盆花，四个顶点都放，一共放了多少盆花？ 七、答案及解析 1. 填空题解析 (1) 答案：6个 解析：根据植树问题的第一种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1。代入已知数值，点数 = 100 ÷ 20 + 1 = 6。 (2) 答案：10盆 解析：这个问题可以看作是线段上植树的问题，只不过线段是圆形的。根据植树问题的第一种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 + 1。代入已知数值，点数 = 60 ÷ 6 + 1 = 11。但因为花盆是放在花坛周围的，所以实际的花盆数量应该是11 - 1 = 10盆（减去一个重合的起点）。 2. 选择题解析 (1) 答案：A 解析：根据植树问题的第三种情况，线段上的点数 = 线段长度 ÷ 间距 - 1。代入已知数值，点数 = 24 ÷ 3 - 1 = 7。所以一共要放7盆花。 (2) 答案：C 解析：这个问题属于植树问题的第一种情况，即两端都植树。根据公式，一边的路灯数量 = 线段长度 ÷