第六章实数实数基础知识清单2023-2024学年人教版数学七年级下册

6.1 平方根 知识点1 算数平方根的概念及性质 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算数平方根. a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。如：22=4，2就叫做4的算术平方根，即4的算术平方根是2. 2.性质 （1）一个正数的算术平方根是① 数，负数② 算数平方根，0的算术平方根是③ . （2）算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算数平方根为非负数，即≥0. 知识点2 估算 对算术平方根进行估算，经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算数平方根进行比较。 例如：估算的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1和4，因为1＜2＜4，所以1＜，即1＜. 知识点3 用计算器求算术平方根 1.近似数 3.14,3.142…都是π的近似值，称它们为近似数。在解决实际问题时，出现某个数的算术平方根开不尽时，往往用一个有限小数来近似地表示这个算术平方根。 2.用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值计算器品牌不同，按键顺序就有所不同，使用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值之前，要仔细阅读计算器的使用说明书。 知识点4 平方根的概念及性质 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的④ 或二次方根。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。 2.性质：正数a有两个平方根，它们互为⑤ ，正的平方根表示为，负的平方根表示为－，合起来表示为±.0的平方根是0，负数⑥ 平方根。 3.开平方的定义 （1）求一个非负数的平方根的运算，叫做⑦ . （2）平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 答案：①正 ②没有 ③0 ④平方根 ⑤相反数 ⑥没有 ⑦开平方 6.2 立方根 知识点1 立方根 1.概念及表示 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的① 或三次方根，记为，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，不可省略。如：2是8的立方根，即=2；﹣是﹣的立方根，即=﹣；0是0的立方根。 2.性质 （1）每个数a② 个立方根，其中a可正、可负、可为0. （2）正数的立方根是③ ，负数的立方根是④ ，0的立方根是0. 知识点2 平方根和立方根的区别与联系 平方根 立方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根， 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根。任何数的立方根都只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为±，根指数为2，可以省略不写 数a的立方根用符号表示，这里的根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在±中，被开方数a是非负数 在中，被开方数a是任意数 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0的方根 0的立方根和平方根都是0 知识点3 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.其中a叫做⑤ .正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成。 开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 ± 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 知识点4 用计算器求立方根 一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）。借助计算器求数的立方根的具体做法是开机后，先按键，再输入被开方数，最后按=键，即可求出该数的立方根。要注意，不同厂家生产的计算器按顺序可能不同，以说明书为准。 答案：①立方根 ②有且只有一 ③正数 ④负数 ⑤被开方数 6.3 实数 知识点1 无理数 1.定义 ① 或② 称为有理数，③ 称为无理数。 例如：2.2是有限小数，是无限循环小数，它们都是有理数；2.236 078 954…是无限不循环小数，是无理数。 2.小数的分类 小数 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数——无理数 有理数 3.常见的无理数的形式 （1）开不尽方的数，如， （2）化简后含有π的数，如π， （3）有规律但不循环的无限小数，如0.101 001 000 1… 知识点2 实数的概念及分类 1.有理数和④ 统称为实数。 2.按定义分类 实数 有理数 无理数 ⑤ 分数 正分数 负