极速提分专训第19招 反比例函数与几何图形的综合应用课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第19招 反比例函数与几何图形的综合应用 九年级数学（上）极速提分专训 例 典 例 剖 析 解题秘方：根据正方形的性质以及函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标为(1，2)，利用待定系数法可求出反比例函数表达式，进一步得到E，F两点的坐标；过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G, 根据两点间的距离公式可求出AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求出△AEF的面积． (2)求△AEF的面积． 应用 1 反比例函数与三角形的综合 分 类 训 练 (1)求反比例函数的表达式； 【点方法】 求函数表达式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，首先要设出待定系数，再根据题目中的已知条件求出待定系数．对反比例函数而言，因为只有一个待定系数，所以只要将一个点的坐标代入函数表达式，就可以求出待定系数；若是一次函数，则一般需要两个独立的条件； (2)点B的坐标是(－3，0)，若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标． 【点方法】 求解关于坐标平面内三角形的面积问题，可将在坐标轴上的边或者与坐标轴平行的边作为三角形面积公式中的“底”，这样计算会容易一些． 应用 2 反比例函数与四边形的综合 分 类 训 练 18 【点拨】 如图，过点D作DN⊥y轴于点N，过点B作BM⊥y轴于点M. 设OC＝a，CN＝2b，MN＝b. 【点方法】 过点D作DN⊥y轴于点N，过点B作BM⊥y轴于点M.设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，根据▱OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求出k值． (1)求k的值和点M的坐标； (2)求▱OABC的周长． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的双曲线对应的函数表达式． (1)求k的值； 解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，易知点A， D，F在同一条直线上． ∵点D的坐标为(4，3)， ∴OF＝4，DF＝3. ∴OD＝5.∴AD＝OD＝5. ∴点A的坐标为(4，8)． ∴k＝xy＝4×8＝32. (1)求k的值； 【点方法】 由正方形的性质求出点D的坐标，代入函数表达式中利用待定系数法即可求出k值； (2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 【点方法】 注意分0＜x＜1和x＞1两种情况进行分类讨论． (1)当m＝4，n＝20时， ①若点P的纵坐标为2，求直线AB对应的函数表达式； ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． (2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴、y轴的正半轴上，函数y＝2x的图象与CB交于点D，函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过 点D，与AB交于点E，与函数y＝2x 的图象在第三象限内交于点F，连接 AF，EF. 解：∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2. 将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为(1，2)． ∵函数y＝的图象经过点D，∴2＝，解得k＝2. ∴函数y＝的表达式为y＝. E(2，1)，F(－1，－2)．　 (1)求函数y＝的表达式，并直接写出E，F两点的坐标； 解：如图，过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G， ∵E(2，1)，F(－1，－2)， ∴AE＝1，FG＝2－(－1)＝3. ∴S△AEF＝AE·FG＝×1×3＝. 1．【2022·德阳】如图，一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A， 且点A的横坐标为－2. 解：∵一次函数y＝－x＋1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为－2， ∴A(－2，4)． 将A(－2，4)的坐标代入y＝，得4＝， 解得k＝－8. ∴反比例函数的表达式为y＝－. 解：设P(0，m)． ∵△AOP的面积与△AOB的面积相等， ∴×|m|×2＝×3×4，解得m＝±6. ∴点P的坐标为(0，6)或(0，－6)． 2．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝(x＞0)的图象交BC于点D.若CD＝ 2BD，▱OABC的面积为15，则k的 值为________． ∵▱OABC的面积为15， ∴BM＝. ∴ND＝BM＝. ∴点A，D的坐标分别为，. ∴·3