极速提分专训第18招 反比例函数与一次函数的综合应用课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第18招 反比例函数与一次函数的综合应用 北师版 九年级上 九年级数学（上）极速提分专训 例 典 例 剖 析 解题秘方：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，这两个函数图象的交点也关于原点对称．解决与两个函数图象的交点有关的问题时，利用函数图象的对称性非常方便． 应用 1 反比例函数图象与一次函数图象的位置判断 分 类 训 练 【点拨】 【答案】D 应用 2 利用根的判别式解反比例函数图象与一次函数 图象有交点问题 分 类 训 练 2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(3，18)和B(－2，8)两点． (1)求一次函数的表达式； ∴Δ＝122－4×2×(－m)＝0. ∴m＝－18. 把m＝－18代入2x2＋12x－m＝0，求得该方程的解为 x1＝x2＝－3. 把x＝－3代入y＝2x＋12，得y＝6， ∴所求的交点坐标为(－3，6)． 应用 3 反比例函数与一次函数的有关计算 分 类 训 练 (1)求y1与y2的表达式； 【点拨】 把点A的坐标代入反比例函数的表达式即可求出m的值，通过反比例函数表达式求出点B的坐标，由点A，B的坐标可求出一次函数表达式； (2)观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； 【点拨】 通过观察图象即可求解； (3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为_____． 2 【点拨】 (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标． 【点易错】 点C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，不要漏解． (1)画出函数图象． 列表： －3 x …                 … y …                 … －1 －2 －1 －3 0 0 1 3 2 3 1 4 在图中描点，连线得到函数图象． 解：函数图象如图所示． (2)该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值；若没有，简述理由． 解：根据图象可知： 当x＝1时，函数有最大值3； 当x＝－1时，函数有最小值－3. (3)设(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，若x1＋x2＝0，证明：y1＋y2＝0. 证明：∵x1＋x2＝0，∴x1和x2互为相反数． 当－1<x1<1时，－1<x2<1， 此时y1＝3x1，y2＝3x2， ∴y1＋y2＝3x1＋3x2＝3(x1＋x2)＝0； 如图，设直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求x1y2－3x2y1的值． 解：∵直线y＝kx和双曲线y＝都关于原点对称， ∴A，B两点关于原点对称． ∴x2＝－x1，y2＝－y1. ∴x1y2－3x2y1＝x1·(－y1)－3·(－x1)·y1＝－x1y1＋3x1y1＝2x1y1. ∵x1y1＝5，∴x1y2－3x2y1＝2x1y1＝10. 1．【2022·荆州】如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2＝的图象，观察图象可得不等式2x＞的解集为(　　) A．－1＜x＜1 B．x＜－1或x＞1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1 由图象可得，函数y1＝2x和y2＝的图象的交点横坐标为－1，1.∴当－1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即2x＞. 解：把点A(3，18)，B(－2，8)的坐标分别代入一次函数的表达式y＝kx＋b(k≠0)，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋12. (2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象只有一个交点，求交点坐标． 解：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数 y＝(m≠0)的图象只有一个交点， ∴只有一组解， 即2x2＋12x－m＝0有两个相等的实数根， 3．【2022·孝感】如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于A， B两点，与y轴交于点C.将直线 AB沿y轴向上平移t个单位长度得到 直线DE，DE与y轴交于点F. 解：将点A的坐标代入y2＝， 得m＝－3，∴y2＝－. 由B在y2＝－的图象上，可得n＝－6. ∴B. 将点A，B的坐标代入y1＝kx＋b， 得解得 ∴y1＝x－. 解：当＜x＜6时，y1＜y2. 由题意先求出直线DE的表达式为y＝x－＋t，过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，由∠OCA＝45°，求出FG＝t，AC＝6，由平行线的性质可知S△ACD＝S△ACF，即可求出t. 4．【2022·重庆】反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y＝的图象交于A(m，4)，B(－2，n)两点． 解：∵点A(m，4