基于核心素养的深度学习——另类匀变速运动的数学本质及协变类比

基于核心素养的深度学习——另类匀变速运动的数学本质及协变类比 摘要：高中物理涵盖的思想方法很多，协变类比是一种创造性的平行思维方法，也是研究物理问题常用的方法之一，对解决一些教学难点有至关重要的作用．本文就另类匀变速运动，用数学工具进行巧妙推导，得出其数学本质特征，通过深度思维，发现高中物理中的类上抛、电容器充放电和电磁感应现象等物理模型都满足同一个函数关系，利用协变类比，得出共通的规律并加以应用． 关键词：数学工具；另类匀变速运动；协变类比；物理模型 1引言 伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的．他从这个信念出发，猜想落体一定是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，另一种是速度的变化对位移来说是均匀的．前一种运动性质比较常见，后一种运动性质是怎样的？又应该满足怎样的条件？高中物理还有类似的规律吗？ 2逻辑推导 2.1数学本质 若速度的变化对时间来说是均匀的，即，变形为数学形式，积分得到：，若时刻的初速度为，则，显然速度是关于时间的一次函数，因加速度恒定，必然受到恒定的合力作用，这就是常见的匀变速直线运动的速度时间函数关系，它的运动规律相对来说也比较简单；若速度的变化对位移来说是均匀的，即“另类”匀变速运动，设，变形为，在数学中，哪个函数关于自变量的导数与它自身的比值为常数呢？只有自然指数函数（），事实上，，变形为：，积分后得，若时刻的初速度为，则速度公式①，果然是自然指数函数，加速度公式②，位移公式，设初始位移为零，则③，显然，自洽．所以另类匀变速运动的运动学条件是：（A为不为零常数，另类加速度的大小），由牛顿第二定律，，这是动力学条件．虽然另类匀变速运动的速度、位移、加速度、合外力却都随时间按指数规律变化，函数关系较复杂，但其合外力（加速度）、速度与位移两两之间呈简单的线性规律变化，如：④，⑤，⑥，为什么会这样呢？因自然指数函数的数学特性就是它的倒数与它本身成正比，二阶导数与它的导数和它本身均成正比，只是这些模型给自然指数函数赋予了物理意义而已． 2.2协变类比 经过深入思考，将另类匀变速运动的函数关系化简为：，经过变形得到一般的物理表达式：（A为非零常数），其实高中物理中曾多次出现两个物理量之间满足该函数关系的模型，下面用协变类比列表找它们的共通性．所谓协变类比是指对象的属性之间可能具有某种确定的函数关系而进行的推理，物理中常见的一种形式是，由两个对象的主要属性相同或相似，推论出他们的数学形式相同或相似．其基本模式为：已知对象具有a、b、c属性，且对a有；待研究对象具有、、属性，且、、与a、b、c分别相同或相似，则待研究对象可能也具有方程式，且与在形式上相同或相似．将几种物理模型的①—⑥式进行比较见表一： 模型 带电液滴上抛运动 直流电源给电容器充电过程 无外力作用的导体切割磁感线运动 物理情境 质量为m的带电液滴以初速度v0竖直向上抛出，在匀强电场中所受电场力与重力平衡，所受空气阻力的大小与其速度成正比 电源电动势为E，电容器电容为C，电路中的总电阻为R．开关S接1，初始充电电流为 在垂直于导轨向下上的匀强磁场B中，固定水平轨道光滑，导体杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，固定电阻为R，杆的初速度为v以后的过程 示意图 略 R a b v0 B 函数关系 液滴速度v与时间t关系（） 充电电流I与时间t关系（） 导体速度v与时间t关系（） 物理规律 求导 积分 物理量之间的关系 函数图像 y t O y0 能量转化 动能转化为内能 电能转化为电场能和内能 动能转化为内能 （续表） 模型 电容器放电过程 原子核衰减过程 物理情境 电容器两极间电压为E，电容为C，电路中的总电阻为R．开关S接1稳定后，再接2，初始放电电压、电流分别为， 原子核总数为，衰变常数为， 示意图 无 函数关系 放电电压U与时间t关系（） 放电电流I与时间t关系（） 衰变数量N与时间t关系（） 物理规律 求导 积分 无物理意义 无物理意义 物理量之间的关系 函数图像 同前 能量转化 电场能转化为内能 核能转化为其他形式能 从上表可以产出，虽然有的物理模型比较陌生，但用协变类比还是能写出它们的物理规律，并能求解相应的问题．图2 v t 0 图1 R a b v0 B 3应用品鉴 例1 如图1所示，两根足够长的平行光滑金属导轨水平放置，其间距为L，处于方向竖直向下匀强磁场中，磁感应强度大小为B．在导轨上垂直导轨放置一根金属棒ab，