7.3.1离散型随机变量的均值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 一、学习目标 课程标准 学科素养 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值的概念；(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的均值；(重点) 3．培养解决实际问题的能力. 1数学抽象； 2数学建模； 3数学运算 二、阅读教材(62～66页) 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决实际问题时，直接使用分布列并不太方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 三、合作探究、深度学习 学习目标一： 离散型随机变量的均值或数学期望的概念 问题1: 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 归纳1：离散型随机变量的均值或数学期望： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)，数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 思考交流：某商场要将单价分别为18元/千克、24元/千克、36元/千克的3种糖果按的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 名师点津： 1.离散型随机变量的期望反映了该随机变量的平均取值水平. 2.随机变量X的期望不会随X的变化而变化，的值是一个常数. 3.若随机变量X服从两点分布，则. 学习目标二：典例解析 例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8， 那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 归纳2：两点分布的均值 1 0 一般地，如果随机变量X服从两点分布， 那么： 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值. 思考：求离散型随机变量的均值的步骤是什么？ 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如下图所示，观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 探究：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？ 即和(其中为常数)分别与有怎样的关系？ 归纳2：离散型随机变量的均值的性质 X … … P … … 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. 若X，Y是两个随机变量，且Y=aX+b，则有E(Y)=aE(X)+b，即随机变量X的线性函数的均值 等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数. 特别地: (1)当a=0时，E(b)=b，即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积. 名师点津 ①, ② 若相互独立，则. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？ 如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢? 值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一