培优练习5向量的新定义问题-2023-2024学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册

培优练习5 向量的新定义问题 一、单选题 1．（2024·云南昆明·模拟预测）向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（    ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 4．（22-23高一下·河北保定·期中）设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（22-23高二上·山东济宁·期末）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高一下·江苏苏州·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 7．（22-23高一下·云南西双版纳·期中）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法正确的是（    ） A．若与共线，则； B．； C．对任意的，有； D． 8．（22-23高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系内，设两个向量，，定义运算：，下列说法正确的是（    ） A．是的充要条件 B． C． D．若点，，不共线，则的面积 三、填空题 9．（20-21高三上·广东广州·阶段练习）若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影= 10．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则 . 四、解答题 11．（22-23高一下·福建福州·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．    (1)若，，求在上的投影向量斜坐标． (2)若，，，求的最小值. 12．（2023高一下·四川成都·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优练习5 向量的新定义问题 一、单选题 1．（2024·云南昆明·模拟预测）向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 【答案】D 【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则， 因为，不共线，所以，A错误； 对于B，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 对于C，当与中至