雨滴下落模型——动力学非常规运动归类

雨滴下落模型——动力学非常规运动归类 摘要：力和速度相互制约的模型在高中物理中非常典型，对学生的高阶思维是很好的素材．本文就此进行深入的探究，将雨滴下落、机车启动、导体切割磁感线运动等问题，从力和运动、功和能、冲量和动量的角度进行分析，做出归纳，分析物理过程，体现物理逻辑，强调结论应用，给学生提供解题思路，最终达到提高解题能力的目的． 关键词：雨滴下落；机车启动；电磁感应；制约；应用 1问题提出 如果力与速度有定量的关系（如：），物体在在运动过程中必然会出现力和速度循环变动、相互制约的情况，而打开循环的唯一出口是合力为零时，加速度为零，速度恒定（一般取最大，称为收尾速度），否则循环会一直进行下去．思维流程如下： 高中物理涉及力与速度相互制约的典型模型主要有：①雨滴下落模型；②恒力作用下的导体切割磁感线模型；③恒定功率作用下的机车启动模型；④带电小环在复合场中约束杆上加速运动模型；⑤恒定功率作用下的导体切割磁感线模型，具体见表1： 模型 雨滴下落模型 恒力作用下的导体切割磁感线模型 恒定功率作用下的机车启动模型 带电小环在复合场中约束杆上加速运动模型 恒定功率作用下的导体切割磁感线模型 情境 质量为m的雨滴在足够高的空中下落，空气阻力与速度的关系满足： 在匀强磁场B中，固定水平轨道光滑，金属杆质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定 恒定功率为P0的质量为m的机车在水平路面上启动，机车所受阻力恒为f 在正交的匀强电场E和匀强磁场B中，质量为m、电荷量为+q的小球套在一竖直足够长固定绝缘杆上， 小球与杆间的动摩擦因数为μ 固定水平轨道光滑，金属杆质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力的功率P恒定 示意图 图1 mg f 图2 图3 图4 图5 P 动力学方程 动态分析 开始时，雨滴速度v↑⇒阻力↑，由知，当时，速度达到最大 开始时，杆cd速度感应电动势安培力，由知，当时，速度达到最大 开始时，机车速度牵引力，由知，当时，速度达到最大 开始时，小环速度洛伦兹力， ，当时，，随速度洛伦兹力，N反向，知，当时，速度达到最大 开始时，杆cd速度感应电动势安培力，由知，当时，速度达到最大 收尾状态 运动形式 匀速直线运动 最大速度 大致的速度时间图像 图6 图7 图8 图9 图10 能量观点 重力做的功转化为雨滴的动能和摩擦热： 外力F做的功转化为杆的动能，和焦耳热： 牵引力做的功转化为车的动能和摩擦热： 重力做的功转化为小球的动能和摩擦热： 牵引力做的功转化为杆的动能和焦耳热： 动量观点 重力的冲量和摩擦力的冲量之和等于雨滴动量的变化： 外力的冲量和安培力的冲量之和等于杆动量的变化： 牵引力的冲量和摩擦力的冲量之和等于车动量的变化： 重力的冲量和摩擦力的冲量之和等于小球动量的变化： 牵引力的冲量和安培力的冲量之和等于杆动量的变化： 2典例品鉴 例1 （2019年北京高考题）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关．雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g． （1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W． （2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力，其中v是雨滴的速度，k是比例系数．图11 a．设雨滴的密度为，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式； b．示意图11中画出了半径为r1、r2（）的雨滴在空气中无初速下落的图线，其中______对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图11中画出雨滴无初速下落的图线． （3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零．将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）． 解析 （1）根据动能定理，有：，解得：． （2）a．根据牛顿第二定律，有：，变形为，当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度，雨滴质量，由，解得：．图12 b．①如图12所示．图13 （3）根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零．以下只考虑雨滴下落的定向运动．简化的圆盘模型如图13．设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变．在时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为，以F表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，有：，得，由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力，采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论． 点评 本题主要考查学生利用牛顿第二定律和动能定理解