2024年安徽省中考数学二轮专题复习课件 5　规律探索题

专题五　规律探索题 第二部分 2024 初中毕业综合练习册 CHU ZHONG BI YE ZONG HE LIAN XI CE 题型概述 规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比和归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和平面直角坐标系下点的坐标变化规律类问题,是数学中考的热点题型,考查同学们的创新能力.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽数学中考连续7年都有考查,预计这类问题仍然是2024年数学中考的热点. 方法指导 解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析和比较,从中发现其变化规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.寻找题目所呈现的规律一般有三种主要途径: (1)观察式与数的特征; (2)观察图形的结构; (3)通过对简单、特殊情况的观察,推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则 (1)遵循类推原则:项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的 规律; (2)遵循有序原则:从特殊开始或从简单开始,先找3个,发现规律,再验证并运用规律. 分类突破 类型一 数式的变化规律 例1(2022·安徽)观察以下等式: 第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2, 第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2, 第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2, 第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2, …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式:　 ;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明. 解 (1)第5个等式:(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2. (2)第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n+1)×2n]2. 证明:等式左边=4n2+4n+1, 等式右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n+12-[(n+1)×2n]2=4n2+4n+1, ∴左边=右边.等式得证. 例2(2020·安徽)观察以下等式: 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:　 ;  (2)写出你猜想的第n个等式:　　　　　　　　　　(用含n的等式表示),并证明.  类型二图形的变化规律 例3(2021·安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列. [观察思考] 当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块(如图2);当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块(如图3)……以此类推. 　图1　　　　　　 图2　　　图3 [规律总结] (1)若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加 　　　　　块;  (2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为　　　　　(用含n的代数式表示);  [问题解决] (3)现有2 021块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩余最少,则需要正方形地砖多少块? 解 (1)观察图1可知,中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形,所以每增加1块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加2块. (2)观察图形2可知,中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有1个等腰直角三角形,即6=3+2×1+1=4+2×1;图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有图2一样的规律,即8=3+2×2+1=4+2×2,归纳得4+2n(即2n+4),∴若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4. (3)由规律知,等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数,∴2 021-1=2 020(块),再由题意得2n+4=2 020,解得n=1 008,∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块,则需要正方形地砖1 008块. 类型三平面直角坐标系下点的坐标变化规律 例4(2023·山东东营)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y= x- 与x轴交于点A1,以OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上,延长C1B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形A2B2C2C1,点C2在y轴上,