第5章 二次函数 复习讲义（三）用待定系数法确定函数表达式 、二次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 2023－2024学年苏科版数学九年级下册

用待定系数法确定二次函数表达式 1、 二次函数的表达式 二次函数表达式有三种常见形式: 1. —般式(或三点式):y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0) 2. 顶点式(或配方式):y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数,a≠0) 3. 交点式(或两根式):y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2是常数,a≠0) 2、 用待定系数法确定二次函数表达式 1. 一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y�的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解; 2. 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设表达式为y=a(x-h)2+k,顶点是(h,k); 3. 在所给条件中已知抛物线与x�轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。在所给条件中,已知两点纵坐标相同时(如都为m)可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)+m来求解。 二次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 1、 二次函数与方程(组)的关系 求二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象与x轴的交点坐标,就是令y=0,求ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)中x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程,因此一元二次方程根的情况决定了抛物线与x轴的交点的情况,它们的关系如下表: 判别式 =b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0) 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 >0 a>0 与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0),(x1<x2)。, 此时称抛物线与x轴相交 有两个不相等的实数根 a<0 =0 a>0 与x轴有且仅有这一交点,此时称抛物线与x轴相切 有两个相等的实数根 a<0 <0 a>0 与x轴无交点,此时称抛物线与x轴相离 在实数范围内无解(或称无实数根) a<0 (1) 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图像和直线y=m以及直线y=kx+m(k、m是常数,k≠0)的交点 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象与x轴的交点,即抛物线与直线y=0的交点。 若求二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象与直线y=m的交点坐标,则联立两个函数表达式,得 , 即解关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0。这个一元二次方程的根的情况决定了交点的情况。 若求二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象与直线y=kx+m(k、m是常数,k≠0)的交点坐标,则联立两个函数表达式,得, 即解关于x的一元二次方程c-kx-m=0。这个一元二次方程的根的情况决定了交点的情况。 (2) 一元二次方程ax2+bx+c=的解的几何意义 将“=”左边的部分看作抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),“=”右边的部分看作直线y=,则方程ax2+bx+c=n的解即两函数图象的交点横坐标,所以交点横坐标的值就是方程的解。 (3) 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 1. 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的近似解的方法(图象法): (1) 直接作出函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象,则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根; (2) 先将方程变为ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0),再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c图象,交点的横坐标就是方程的根; (3) 将方程化为x2+x+=0,移项后得x2=-x-,设y=x2和y=-x-,在同一坐标系中画出y=x2和y=-x-的图象,图象交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的根. 2. 用图象法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的步骤: (1) 作二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象,由图象确定交点个数,即方程解的个数; (2) 确定一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的根的取值范围.即确定二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的图象与x轴交点的横坐标的大致范围; (3) 在(2)确定的范围内,用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内,从大到小或从小到大依次取值,用表格的形式求出相应的y值. (4) 确定一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的近似根.在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)的近似