第5章 第3节 等比数列及其前n项和-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三节　等比数列及其前n项和 第五章　数　列 教材梳理 01 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 目 录 CONTENTS 课时作业 05 教材梳理 ‹#› 同一常数(不为零) G G2＝ab a1qn－1 am·qn－m(n，m∈N*) amqn－m ap·aq qk q S3n－S2n qn 诊断自测 ‹#› ‹#› 典例精讲 高考再现 课时作业(三十) 点击进入Word ‹#› 谢谢观看 ‹#› 知识点1　等比数列的定义与等比中项 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于______________________，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为 eq \f(an＋1,an) ＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么______叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒___________． 思考：若{an}是首项为1，公比为q的等比数列，那么{an＋an＋1}也是等比数列吗？ 提示：不一定．设bn＝an＋an＋1＝(1＋q)qn－1显然当q＝－1时bn＝0.即{bn}不是等比数列． 知识点2　等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________． (2)通项公式的推广：an＝______________________． (3)前n项和公式：Sn＝________________________________． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.)) 知识点3　等比数列的常用性质 (1)项的性质 ①an＝________． ②若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝a eq \o\al(2,k) . ③在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为________． (2)和的性质 ①若等比数列{an}有2k(k∈N*)项，则 eq \f(S偶,S奇) ＝_____． ②公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，__________仍成等比数列，其公比为______． [常用结论] 1．等比数列与指数型函数的关系 当q>0且q≠1时，an＝ eq \f(a1,q) ·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上； 对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q) ＝－ eq \f(a1,1－q) qn＋ eq \f(a1,1－q) ，若设a＝ eq \f(a1,1－q) ，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1).由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝ eq \f(a（1－an）,1－a) .(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 【解析】　(1)在等比数列中，q≠0. (2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列． (3)当a＝1时，Sn＝na. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·陕西商洛·高二统考期末)若公比为－3的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为(　　) A．15 B．－15 C．45 D．－45 【解析】　设该等比数列为{an}，则a1＋a2＝a1－3a1＝－2a1＝10，a1＝－5，所以a3＝(－3)2a1＝－45.故选D. 【答案】　D 3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若 eq \f(S10,S5) ＝ eq \f(31,32) ，则{an}的通项公式an＝________． 【解析】