第4章 第3节 平面向量的数量积-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三节　平面向量的数量积 第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 教材梳理 01 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 目 录 CONTENTS 课时作业 05 教材梳理 ‹#› ∠AOB 0°≤θ≤180° a∥b θ＝90° |b|cos〈a，b〉 a·e |a|cosθ a·b＝0 a·b＝b·a (a＋b)·c＝a·c＋b·c (λa)·b a·(λb) x1x2＋y1y2＝0 诊断自测 ‹#› ‹#› 典例精讲 高考再现 课时作业(二十六) 点击进入Word ‹#› 谢谢观看 ‹#› 知识点1　两个向量的夹角 向量夹角的定义和范围 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝b，则_________就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是_______________ θ＝0°或θ＝180°⇔_______，____________，⇔a⊥b 知识点2　向量的数量积 (1)平面向量的数量积(内积)的定义a·b＝|a|·|b|cos θ(θ是a与b的夹角). (2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_________________的乘积． (3)平面向量数量积的性质 设a，b为非零向量，它们的夹角为θ，则 ①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝_______＝____________； ②a⊥b的充要条件是__________； ③cos θ＝_________． eq \f(a·b,|a||b|) (4)数量积的运算律 ①交换律：___________； ②分配律：对于向量a，b，c，______________________； ③结合律：对λ∈R，λ(a·b)＝___________＝___________． 思考：向量b与c在向量a方向的投影相同，那么b＝c对吗？ 提示：不对．从式子|b|cos 〈b，a〉＝|c|cos 〈c，a〉看，b与c不一定相等，从几何意义看更直观． (5)数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a⊥b的充要条件是_________________； ②模长公式|a|＝___________； ③夹角公式cos 〈a，b〉＝______________________________． eq \o\al(2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ) eq \o\al(2,1) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(（x＋y eq \o\al(2,1) ）·（x eq \o\al(2,2) ＋y eq \o\al(2,2) ）)) [常用结论] 1．两向量a与b夹角为锐角⇔a·b>0，且a与b不共线． 2．两向量a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线． 3．|a|cos θ(|b|cos θ)(θ是a与b的夹角)叫做向量a在b(b在a)方向上的投影． 4．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 5．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 6．a与b同向时，a·b＝|a||b|；a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 7．|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) .(　　) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 【解析】　(1)两个向量夹角的范围是[0，π]. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos 〈a，b〉＝|a||c|·cos 〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．(2023·山西运城·高一统考期末)已知向量a＝(m，1)，b＝(4，m)，若a与b方向相反，则|a－b|＝(　　) A．3 eq \r(5) B． eq \r(5) C．2 eq \r(5) D．5 【解析】　由a与b共线可得m2＝4⇒m＝±2，当m＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时b＝2a，当m＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时b＝－2a，由于a与b方向相反，所以m＝－2，故a－b＝(－6，3)，|a－b|＝ eq \r(（－6）2＋32) ＝3 eq \r(5) .故选A