第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三节　函数的奇偶性与周期性 第二章　函数、导数及其应用 教材梳理 01 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 目 录 CONTENTS 课时作业 05 教材梳理 ‹#› f(x) y轴 －f(x) 原点 f(x＋T)＝f(x) 诊断自测 ‹#› ‹#› 典例精讲 高考再现 课时作业(八) 点击进入Word ‹#› 谢谢观看 ‹#› 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝_________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于________对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝__________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于________对称 口诀记忆 奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称． 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？ 提示：一定是．反之，也成立． 知识点2　函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 思考：函数y＝f(x)(x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？ 提示：不唯一．若T是y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．若函数y＝f(x)是常数函数，则y＝f(x)是周期函数，且无最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝ eq \f(1,f（x）) ，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－ eq \f(1,f（x）) ，则T＝2a(a>0). 3．函数对称性常用结论 (1)函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称． (2)函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0)) 对称．(　　) 【解析】　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误． (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)＝(1＋x) eq \r(\f(1－x,1＋x)) 的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解析】　由函数f(x)＝(1＋x) eq \r(\f(1－x,1＋x)) 的定义域可得 eq \f(1－x,1＋x) ≥0， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1＋x）（1－x）≥0,x≠－1)) ⇒－1<x≤1， 由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．故选C． 【答案】　C 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) 时，f(x)＝－x3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))) ＝________． 【解析】　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3， 又函数f(x)为奇函数， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－