第1章 第5节 基本不等式及其应用-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第五节　基本不等式及其应用 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 教材梳理 01 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 目 录 CONTENTS 课时作业 05 教材梳理 ‹#› a＝b 2ab 小 x＝y 大 诊断自测 ‹#› ‹#› 典例精讲 高考再现 课时作业(五) 点击进入Word ‹#› 谢谢观看 ‹#› 知识点1　基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号． (3)其中_______称为正数a，b的算术平均数，_______称为正数a，b的几何平均数． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 知识点2　两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥_________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 知识点3　利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最______值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当__________时，xy有最______值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大)． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝sin x＋eq \f(4,sin x)的最小值为4.(　　) (4)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．(　　) 【解析】　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是a＞0，b＞0. (2)函数y＝x＋eq \f(1,x)的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值． (3)函数f(x)＝sin x＋eq \f(4,sin x)没有最小值． (4)x>0且y>0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充分不必要条件． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(2023·陕西榆林·高二校联考期中)已知a>0，b>0，a＋4b＝2，则ab的最大值为(　　) A．eq \f(1,4)　　　　　　　　 B．eq \f(1,2) C．1 D．2 【解析】　因为a>0，b>0，a＋4b＝2，由基本不等式可得2＝a＋4b≥2 eq \r(4ab)＝4 eq \r(ab)，可得ab≤eq \f(1,4)，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝eq \f(1,4)时，等号成立，所以ab的最大值为eq \f(1,4).故选A． 【答案】　A 3．(多选题)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　) A．3x≥3y B．eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy) C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 【解析】　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确； 当0＞x≥y时，eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)不成立，故B错误； 当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误； x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 【答案】　AD 考题体验 4．(2023·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4 【解析】　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C． 【答案】　C 5．(2023·长沙月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大． 【解析】　设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2＝eq \f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号． 【答案】　15