专题14 特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题14 特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。近年来虽然关于（特殊）平行四边形旋转的考查频率高，由于之前的专题有总结过相关的旋转模型，故本专题就只对特殊的平行四边形旋转中的题型作全面的总结，方便大家学习掌握。 模型1.平行四边形中的旋转模型 1）常规计算型 例1．（2023·山东·八年级期末）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 例2．（2023·重庆八年级阶段练习）如图，将平行四边形ABCD绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝2，∠A＝75°，则HG的长是（　　） A． B． C． D． 2）最值（范围）型 例1．（2023·河南信阳·九年级期中）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是 ． 例2．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ． 4）综合证明型 例1．（2023·四川成都·八年级统考期末）在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且＝4，将B绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）． (1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF； (3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值． 模型2.菱形中的旋转模型 1）常规计算型 例1．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，菱形，是对角线上一点，将线段绕点顺时针旋转角度，点恰好落在边上点处，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2．（2023·河南·模拟预测） 如图，在菱形OBCD中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′，则点C′的坐标为（　　） A．（，） B．（，-） C．（，-） D．（，） 例3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是(       ) A． B． C． D． 2）最值（范围）型 例1．（2023·山东济宁·模拟预测）如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 例3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，已知菱形和菱形，，，，连接，．将菱形绕点旋转，当最大时，等于（    ） A．2 B． C．1 D． 3）分类讨论型 例1．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：；(2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，．①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 4）综合证明型 例1．（2023·天津·二模）如图，将菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，使点落在对角线上，连接，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形