第06讲 一元二次方程42道压轴题型专项训练（7大题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第06讲 一元二次方程42道压轴题型专项训练（7大题型） 【题型目录】 题型一 配方法的应用 题型二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 一元二次方程的应用 题型六 一元二次方程根与系数的关系 题型七 一元二次方程综合问题 【压轴题型一 配方法的应用】 1．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    2．[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如:    请根据上述材料解决下列问题: (1)分解因式:； (2)利用配方法求代数式的最大值． 3．设x，y都是实数，请探究下列问题， (1)尝试：①当，时，，，． ②当，时，，，． ③当，时，，，． ④当，时，，，________2xy． (2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：求代数式的最小值． 4．一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“神奇数对”是_________； (2)若是使成立的“神奇数对”，求的值； (3)若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值． 5．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 6．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    【压轴题型二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 8．已知关于x的方程． (1)证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数． 9．如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 10．已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 11．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化