5.2 指数函数-2024年中职高考数学复习总案

第五章指数函数与对数函数 第二节 指数函数 知识支架 L.指数函数的定义 形如y=a(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义 域是R,a是指数函数的底数 注意：①在指数函数的定义中，需a的系数是1，指数x的系数是1，x的指数是1. ②指数函数y=a中，规定a是大于0且不等于1的常数，即0<a<1或 a>1. 2.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图像与性质 解析式 y=a'(0<a<1) y=a'(a>1) 1 ↑y (0,1) (0.1) 图像 -…= 定义域 R 值域 (0,十co) 当x=0时，y=1,即图像过定点(0,1) 当x>0时，0<y<1: 当x>0时，y>1: 性质 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 在R上是减函数 在R上是增函数 非奇非偶函数 考点例析 例1指出下列哪些函数是指数函数： ①y=3‘；②y=-3；③y=1':④y=(-3)；⑤y=3. 109 中职高考数学备考总案 【解析】 ①y=3 是指数函数；②y=一3中，3的系数不是1，不是 指数函数；指数函数要求底数a>0,且a≠1，所以③④都不是指数函数；⑤y=3= 9,是指数函数. 【点评】判断指数函数的依据是a”的系数为1，底数4>0，且a≠1，或通过转 化后能变成y=a', 例2求下列函数的定义域： 1 -4 【解析】（①）要使函数有意义，需满足27一3≥0，即3-1≤3， 因为y=3在R上为增函数，所以x一1≤一3，解得x≤一2. 故该函数的定义域为（一∞，一2]. (2)要使函教有意义，需满足()广-4≥0，即()广≥()厂。 因为y= 在R上为减函数，所以2x≤一2，解得x≤一1. 故该函数的定义域为（一∞，一1门. 【点评】利用单调性解题时，先化为同底，才能确定指数的大小关系 例3容器里现有酒精10L,每次从中倒出3L溶液后再加满水.试写出操作次 数x与所剩酒精y(L)之间的函数关系式，并求出操作6次后，容器中纯酒精的体积 (结果精确到0.01L). 【解析】每次从中倒出3L溶液还剩7L,即每次保留原来的70%（即0.7）. 操作1次剩余的纯酒精为10×0.7； 操作2次剩余的纯酒精为10×0.7×0.7=10×0.7； 操作x次剩余的纯酒精为10X0.7, 故所求的函数解析式为y=10X0.7,x∈N. 操作6次（即x=6)后，容器中纯酒精的体积为y=10×0.7≈1.18(L). 【点评】复利、人口增长、折旧、衰变等问画，需要用到指数函数知识解决，指数 函数模型y=c·a是一个常用的数学模型. 110 第五章指数函数与对数函数 反馈巩固 一、选择题 1.函数y=a-1+1(a>0,且a≠1)的图像必经过点( A.(0,1) B.(1,2) C.(1,1) D.(2,1) 2.已知f(x)=a(a>0,且a≠1)，且f(2)>f(3),那么实数a的取值范围 为() A.0<a<1 B.1<a2 C.2<a≤3 D.a>3 3.函数y=a‘(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于() A号 B.2 C.4 n 4.下列不等式中正确的是( A()<()<() ()<)<(》 c(得)<)<) .()<)< 5.函数y=() 的值域为( A2+ B(←o, co,司 D.(0,2] 二、填空题 6.函数y=5的定义域是 ,值域是 7.已知一1<x<0,则0.5,5,5三者之间的大小关系是 (用 “>”连接) 三、解答题 8.已知f(x)= 3-1 3r+1 (1)求函数f(x)的定义域和值域： (2)判断函数f(x)的奇偶性 111 中职高考数学备考总案 9.求函数y=(广-()广+1a∈[-3,2])的最值. 10.已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图像经过点(2,9). (1)求实数a的值： (2)若b∈R,比较f(2b)与f(b2+1)的大小关系. 1.已知函数fu)=(2) ,a为常数，且函数的图像过点（一1,2）. (1)求实数a的值： (2)若g(x)=4一2，且g(x)=f(x),求满足条件的x的值. 11211 递增的性质,可得(-2) 3 5>(-6) 3 5;由幂 函数y=x -12在第一象限内递减的性质, 可得0.5 -12>0.7 -12>1. 11. 1 2 【解析】 由2α= 2 2 ,解得α=- 1 2 , 即f(x)=x -12,所以f(4)=4 -12= 1 2. 12.a<b<c 【解析】 ∵幂函数y=x0.3 在 (0,+∞)上为单调增函数,且0.2<0.3, ∴0.20.3<0.30.3,即a<b;又∵指数函数 y=0.3x 为单调减函数,且0.3>0.2, ∴0.30.3<0.30.2,即b<c.∴a<b<c. 13.解