4.3 同角三角函数的基本关系-2024年中职高考数学复习总案

么中职高考数学备考总案 第三节 同角三角函数的基本关系 知识支架 1.同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin a+cos'a=l 同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 sin a =tana(cosa≠0) 同一个角&的正弦、余弦的商等于角α的正切 cos a 2.基本关系式的变形公式 sin'a=1-cos'a, cos'a=1-sin'a, sin2a+cos2a=1→sina=土1-cos2a, cosa=土/1-sin2a, (sina士cosa)=1士2 sin acos a. sin a=tan acos a, sin a tan a= cos a sin a cos a= tan a 考点例析 例1已知tana= 3,且a为第三象限角，求sina与cosa的值. 4 【解析】 由tana= 、其三—、子s1x 3 cos a, 9 代入sin2a十cos2a=1,得cos2a= 251 因为a为第三象限角，所以cosa<0, 所以cosa=一 【点评】先利用商数关系把正切化为“弦”，再与平方关系联立组成方程组，求 78 第四章三角函数 出sina与cosa的值.解题过程中应注意符号的判定， 例2化简： (1)sin0+tan 0 1+cos 0: (2)sin'a+sin'acos'a+cos'a. sin 0 sin 0(cos 0+1) sin 0+ cos 0 【解析】(1)原式= cos 0 sin 0 1+cos 0 1+cos0 cos 6 =tan 0. (2)原式=sin'a(sina+cos2a)+cos2a=sina十cosa=1. 【点评】题目中有“弦”有“切”时，通常是先把“切”化为“弦”，有分式时要考虑通 分，然后利用提取公因式等方法进行化简，注意用我们本节学习的两个关系式： 例3已知tana=2.求： 1 (1) 1+sin a'1-sin a (2)2sin'a-3cos'a. 1-sin a1+sin a2 【解析】(1)原式=1-sina十1-sina1一sina 2(sin2a+cos2a) =2tan a cosa +2=2×2+2=10. (2):tana=2.cosa≠0，原式=2sina-3cosa_2an2a-32X2-3 sin'a+cos'a tan'a+1 22+1 =1. 【点评】(1)通分后，把常数看作是此数与sina十cosa的乘积.再去掉分母进 行计算即可，(2)可把分母看作是sina十cos,再用分子、分母同时除以cosa化为 正切即可代值求值。 例4已知sina十cosa= 行，且a是第二象限角.求： (1)sin acos a; (2)sin a-cos a; 1 【解析】(1)把sina十cosa= 5两边同时平方，得1+2 sin acos=25 12 所以sin acos a= 25 (2)(sin a-cos a)-1-2sin acos a=1-2X 49 25 又因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,即sina一cosa>0, 79 么中职高考数学备考总案 7 故sina一cosa= 5 【点评】sina十cosa,sin acos a,sina一cosa这三个式子，只要知道其中一个 式子的值，就可求出另外两个式子的值.注意开方前应先判断符号， 反馈巩固 1 一、选择题 √3 1.已知cosa= a∈(-，0)，则sina=( ) A B.-i c 2.已知tana=5,a∈(o,）,则cosa=( 1 A.6 D.- 6 3.已知sina<0,tana>0,则化简/1一sina的结果为( A.cos a B.tan a C.-cos a D.士cosa 2 4.若cos0=5,则sin0=( A.土写 C±2I 5 D.、② 5 5.已知sina+3cosa=0,则a所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 二、填空题 6.1-sin230°= 7.若sin&=-2cosa,则tana= 8.若sina=m,cosa=n(n≠0)，则tana= 9.cos'a+sinacos'a+sin'a= 三、解答题 4 10.已知sina=5,且a是第二象限角，求cosa与tana 80 第四章三角函数 l.已知cose=2,求sina与ane 12.已知tana=3, 2sima+3cosc的值. 3sin a-6cos a 13.已知a是三角形的一个内角，且sina十cosa=5 1 (1)求tana: 1 (2)用tana表示 cosa一sima,并求其值. 817 (2)cos α=- 6 4. 第三节 同角三角函数的基本关系 1.D