4.2 任意角的正弦函数，余弦函数和正切函数-2024年中职高考数学复习总案

中职高考数学备考总案 第二节 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 知识支架 1.任意角的三角函数的定义 设α是平面直角坐标系中的一个任意角，它的顶点与坐标原点重合，角α的始 边与x轴的非负半轴重合，点P(x,y)为角α终边上的任意一点，点P到原点的距 离是r=√+y(r>0),则有下表： 三角函数 定义 定义域 值域 正弦 sin a=y R [-1,1] r 余弦 cos a= r R [-1,1] 正切 tan a=y aa≠ 2 十kπ，k∈Z R 2.各象限角的三角函数值符号 各象限角的三角函数值符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”（如图所 示) sin的符号 cosx的符号 tan的符另 3.特殊角的三角函数值 特殊角a 0 开 4 Km 3 2 2 2π 1 sin a 0 2 2 2 2 1 cos a 0 2 2 72 第四章三角函数 续表 特殊角α 0 3 6 3 2 个 2 2π 0 5 tan a √3 不存在 不存在 0 3 考点例析 题型一：三角函数的概念 例1在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，终边经过点P(一3,4)，求sina,cosa和tana. 【解析】由P(-3,4),得r=1OP1=√(-3)+4=5. 则由三角函数定义，得 5 cos a==-3 sin a=y=4 =3=-4 3 例2在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，终边经过点(8a,一15a)(a≠0)，求sina-cos&的值 【解析】r=/(8a)十(-15a)2=17a. 若a>0,则r=17a. -15415 所以sina= 17a 17'cos a= 8a8 17a17 15823 故sina一cosa= 1717=-17 若a<0,则r=-17a -15a15 8a 8 所以sina= -17a 17'cos a=- -17a17' 故sina-cosa= 例3已知a是第二象限角，且终边在直线y=-x上，求sina,tana. 【解析】因为a是第二象限角，且终边在直线y=一x上， 所以可在a的终边上取点P(一1,1)，得r=√(-1)+1严=√2. 例4求值： 73 中职高考数学备考总案 (1)sin- 6 6+an十sin十cos (2)mcos360°-n2sin270°-nm sin90°+mmc0s180°. 【解折)原式=（停）+1+（+(-1D=2 (2)原式=m2×1-n2×(-1)-mn×1+mm×(-1)=m2+n2-2mn =(m-n)2. 例5在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，终边经过点P(3,t),且sin(2kπ十a)= 亏(k∈)，则1等于( 9 A.一16 9 3 9 B.- 4 C.4 D.4 【解析】易得r=√3+t2, 所以sina= 3+P 因为sin(2kπ十a)=- sin a. 5 ,可得t=一9 3 所以 32+t 【答案】B 题型二：三角函数值的符号的判断 例6确定下列各三角函数值的符号： 13π (1)sin6￥ (2)cos260°：(3)tan 【解析】( 13ππ 1)因为6=6+2，所以 是第一象限角· 6 所以s1g>0 (2)因为260°是第三象限角，所以c0s260°<0. (3)因为-1-开-标，所以-17是第二泉限角，所以am1）<0。 5 5 5 例7已知点P(tana,cosa)在第四象限，则角&的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 74 第四章三角函数 【解析】，点P(tana,cosa)在第四象限， tan a>0, 角α的终边在第三象限. cos a<0, 【答案】C 【点评】需要对三角函数在各象限的符号熟悉. 题型三：三角函数定义域的应用 例8求下列函数的定义域： (1)y=/cosx (2)y=lg(2sin x-1). 【解析】（1)要使y=0r有意义，须c0sx≥0，解得-十2km≤r≤受十 2kπ，k∈Z. 故函数y=√c0s工的定义城为 +2k≤≤受+2,k∈Z (2)要使y=lg(2sinr-1有意义，须2sinx-1>0,解得8+2kx<x<7+ 2kπ，k∈Z. 故函数y=g(2sin-1)的定义域为天+2k<r 6 5x+2k元，k∈Z: 反馈巩固 一、选择题 1.角α的终边与单位圆交点P的坐标可表示为() A.(sin a,cos a) B.(cos a,sin a) C.(-sin a,cos a) D.(-cos a,-sin a) 2.若角a的终边过点P(0,m)(m≠0)，则sina的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1 3.“tan0<0”是“0是第二象