3.2 函数的性质-2024年中职高考数学复习总案

第三章函数 第二节 函数的性质 知识支架 1.单调性的有关概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性， (1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上有意义，如果对任意的x1,x2∈(a,b),当 x1<x:时，都有f(x1)<f(x)成立，那么称函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，区 间(a,b)叫做函数f(x)的增区间. (2)设函数y=f(x)在区间(a,b)上有意义，如果对任意的x1,.x2∈(a,b),当 x1<x2时，都有f(x,)>f(x2)成立，那么称函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，区 间(a,b)叫做函数f(x)的减区间. (3)如果函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（或单调递减），那么称函数f(x)在 区间(a,b)上具有单调性，区间(a,b)叫做函数f(x)的单调区间. (4)由函数单调性定义知：x1<x2且f(x1)<f(x:)时是增函数，x,<x:且f (x:)>∫(x2)时是减函数，即不等号相同时是增函数，不等号相异时是减函数，因此 可以概括为口诀：同增异诚. 2.判断函数单调性的方法 (1)图像法：函数图像自左至右呈上升趋势为单调递增，自左至右呈下降趋势则 为单调递减.可以概括为口诀：升增降减. (2)定义法：根据定义来判断， 用定义法判断函数单调性的步骤：①取值，任取x1,x2∈(a,b),且x1<x2:②作 差变形，求f(x,)一f(x):③定号，判断f(x1)一(x2)的符号，确定f(x1),f(x) 的大小：④根据定义得出结论， 可以概括为取值，作差变形，定号，判断 注意：①变形的目的是确定符号，所以一般变为积、商或平方等形式 ②函数的单调性是“局部”性质 ③若函数的单调区间有两个或多个，则各个单调区间用“和”或“，”连接，不能 用“U”连接 49 中职高考数学备考总案 3.常见函数单调性总结 函数类型 解析式 单调性规律 当k>0时，在（一∞，十∞）上为增函数： 一次函数 y=kx十b(k≠0) 当k<0时，在（一∞，十∞）上为减函数 以对称轴x= 为单调区间分界线： 2a 当a>0时，在 ,)上单调递减 二次函数 y=ax2+b.x+c(a≠0) 在（名十上单调增： 当a<0时，在（←，会 上单调递增， 在（一名+上单调递减 当k>0时，在（一∞，0）和(0，十∞)上都单 调递减； 反比例函数 y= (k≠0) 当k<0时，在（一∞，0）和(0，+∞)上都单 调递增 指数函数 当a>1时，在（一∞，十∞）上单调递增： y=a(a>0且a≠1) 当0<a<1时，在（一oo,十∞）上单调递减 对数函数 y=logx(a>0且a≠1) 当a>1时，在(0，十∞)上单调递增； 当0<a<1时，在(0，+∞)上单调递减 当4>0时，在(0，十∞)上为增函数 幂函数 y=x“(a∈R) 当a<0时，在(0，十o∞)上为减函数 rE[2k一受，2kx+],k∈，单调递增 正弦函数 y=sin x∈[2kx+受，2kx+1k∈，单调递减 余弦函数 x∈[2kπ一π，2kπ]，k∈x,单调递增 y=cosr x∈[2k元，2kπ+π]，k∈之，单调递减 50 第三章函数 注意：一次函数y=k.x(k≠0)也叫做正比例函数，当k>0时，在（一∞，十∞） 上为增函教，当k<0时，在（一∞，十∞）上为减函数.可概括为：正增负减 4.对称点的坐标特征 (1)点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,一b). (2)点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为（一a,b). (3)点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为（一a,一b). 5.奇偶性的有关概念 (1)如果函数图像沿着y轴对折，对折后y轴两侧的图像完全重合，即函数图像 上任意一点P关于y轴的对称点P'仍然在函数图像上，那么称函数图像关于y轴 对称，并把y轴叫做这个函数图像的对称轴。 (2)如果函数图像绕着原点旋转180°，旋转前后的图像完全重合，即函数图像上 任意一点P关于原点的对称点P'仍然在函数图像上，那么称函数图像关于原点中 心对称，并把原点叫做这个函数图像的对称中心， (3)设函数y=f(x)的定义域为数集D,如果对于任意的x∈D,都有一x∈D, 且f(一x)=∫(x),那么函数f(x)叫做偶函数， (4)设函数y=f(x)的定义域为数集D,如果对于任意的x∈D,都有一x∈D 且∫（一x)=一∫(x),那么函数f(x)叫做奇函数 概括为口诀：有奇无偶 (5)如果一个函数是奇函数或偶函数，那么这个函数具有奇偶性.不具有奇偶性 的函数叫做非奇非偶函数， 6.奇偶性的判断方法 (1)图像法：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称. 概括为口诀：原奇y偶， (2)定义法：用定义法判断函数奇偶性的步骤：①求