3.1 函数的概念及表示法-2024年中职高考数学复习总案

第三章函数 知识结构 定义域 函数的概念 对成法则 两数的概念 值域 及其表示 列表法 表示方法 图像法 解析法 单调性 两致 基本性质 奇偶性 定义 分段函数 厨像 一元二次函数棋根 函数的应用 分段函敏模型 第一节 函数的概念及表示法 知识支架 1.函数的概念 在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值范围为数集D,如果 40 第三章函数 对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应，那 么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f(x),非空数集D叫做函数的定 义域， 当x=x时，函数y=f(x)对应的值y。叫做函数在点x。处的函数值，记作y。 =f(x。). 函数值的集合{y|y=f(x),x∈D}叫做函数的值域. 2.函数的三要素 一个函数的构成要素为定义域、对应法则和值域 (1)定义域 函数的定义域是自变量的取值范围。 在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约 (2)对应法则 对应法则f是函数的核心，是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或“方法” (3)值域 函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它 的值域也就随之确定了. 3.函数相等 当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数相等，即是同一个函数， 而与表示函数所选用的字母无关。 4.函数的表示方法 (1)解析法 利用等式表示函数的方法叫做解析法. 一次函数y=kx十b(质≠0).反比例函数y=套k≠0)，二次函数y=ar十6： +c(a≠0)等都是利用解析法表示的函数. (2)图像法 利用图像表示函数的方法叫做图像法。 (3)列表法 用表格来表示函数的方法叫做列表法. 41 中职高考数学备考总案 5.分段函数 (1)分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系， 这样的函数称为分段函数.因此，分段函数的每一段都有一个解析式，这些解析式组 x2,x≤0 成的整体才是该分段函数的解析式，如子(x) 就是由两个解析式组 -x2,x>0 成的 (2)分段段数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集. (3)分段函数的图像. 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中，根据 每段的定义区间和解析式依次画出图像（要注意每段图像的端点是空心点还是实心 点)，组合到一起就得到整个分段函数的图像 考点例析 例1设函数y=f(x),x∈(0，十o∞)，则它的图像与直线x=a的交点有( A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.2个 【解析】因为函数的定义域为x∈(0，十○)，所以存在两种情况：①当a>0时， 有一个交点；②当a≤0时，没有交点，故选C 【答案】C 【点评】函数的图像与x轴垂直的直线至多一个交点， 例2与y=x表示相同函数的是( ) A.y= B.y=t2 x x,x≥0， C.y= D.S=Vi -x,x<0 【解析】因为y=√x=x|与y=x的对应法则、值域不同，排除选项A;y x,x≥0， =x(x≠0)与y=x的定义域不同，排除选项B:y 的实质是y=|x -x,x<0 |,与y=x的对应法则、值域不同，排除选项C:S==t与y=x的定义城、对应 法则、值城均相同且与所选字母无关，故选D. 【答案】D 【点评】判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域、值域、对应法则 42 第三章函数 是否均相同，其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质： 例3求下列函数的定义域： y=中-3若 (2)y=-3+2.x+x2: (3)y=log2(x2-5x+4): (4)y=1-sin x' x十1≥0，x≥-1， 【解析】(1) 3-x≠0x≠3. 故定义域为[一1,3)U(3,十∞)： (2)-3+2x+x≥0→(x+3)(x-1)≥0→x≥1或x≤-3. 故定义域为(-∞，一3]U[1,十c∞)： (3)x2-5.x+4>0→(x-4)(x-1)>0→x>4或x<1. 故定义域为（一∞，1）U(4,十∞)； (4)1-sinx≠0→x≠T+2kx,k∈Z. 2 故定义城为z≠受+2张，k∈z 【点评】求函数的定义城时，应注意以下几个方面： ①函数式是整式时，定义域为R: ②西数式含分式时，分母不等于零： ③函数式舍偶次根式时，被开方数大于等于零：函数式含奇次根式时，被开方数 为实数： ④函数式含对数式时，真数大于零，底数大于零且不等于1： ⑤函数式含零指数式时，底数不等于零，如y=(x一1)“，则x一1≠0，即x≠1： ⑩西数式合含正切至西数时，知y=an,别x≠十kx,k∈乙： ⑦实际应用题中函数的定义城还要受实际条件的限制， 例4已知函数f(.x)的定义域是[5,17]，则f(x十1)的定义域为