2.3 一元二次不等式-2024年中职高考数学复习总案

第二章 不等式 第三节 一元二次不等式 知识支架 1.一元二次不等式的定义 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式,叫做一元二次不等 式.例如x②-5x<0. 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式,ax十bx十c>0(a关0)或ax^}+ bx十c0(a:0). 2.一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式ax②十bx十c>0或ar②十bx十c<o(a-0)的解集可以联系二 次函数y=ax②十bx十c(a0)的图像求解,图像在x轴上方部分对应的横坐标x值 的集合为不等式ax^{}十bx十c>0的解集,图像在x轴下方部分对应的横坐标:值的 集合为不等式ax*十bx十c<0的解集 如果一元二次方程ax*十bx十c-0(a≠0)的两根为x,x。且x<x。,△-6- 4ac,则相应的不等式的解集的各种情况见下表 △--4ac >0 △-0 △<0 翻 ## ## 二次函数y-ax②十bx十( (a>0)的图像 ar*十b十:-0 有两相异实数相 有两相等实数根 无实数根 (a>0)的根 x,r(xx。) r-r一一 2 ax十十.>0 xl:<,或:>r。) (a>0)的解集 axr十hx十c<o rlr。) (a0)的解集 _ 中职高考数学备考总案 注意:①一元二次方程ax*十bx十c=0(a0)的两根π1,x。是相应的一元二 次不等式的解集的端点取值,是抛物线y一ax^{}十x十c与x轴的交点的横坐标 ②表中不等式的二次项系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用 不等式的性质将其转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决 3.解一元二次不等式的步骤 (1)看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数 (2)写出相应的方程ax十bx十c三0(a>0),计算判别式A. ①当A>0时,求出两根x,x。且七<x。(注意灵活运用因式分解法和配方 法); ②当△一0时,求根x一x。一一 2; ③当△<0时,方程无解. (3)画出相应的二次函数的图像 (4)结合函数图像写出不等式的解集 考点例析 题型一:一元二次不等式的解法 例1 解下列一元二次不等式: (1)x2-x-12二0; (2)9x2-4<0; (③)x+2x-3; (4)4+3x-r0. 【解析】 (1)因为一元二次不等式x②一x-12二0的二次项系数1>0 且方程x②-x-12-0的解为x=-3,x。=4,结合对应二次函数的图像. 所以一元二次不等式r*-x-12二0的解集为(xlx二4或x-3; 2 #{###)# 所以一元二次不等式9x②-4~0的解集为 (3)由原不等式可化为x^{}十2x十3>0,得二次项系数1>0,且由方程x}十2x 3-0,得△-b*-4ac-2{-4x1x3--8 0 30 第二章 不等式 结合对应二次函数的图像,知x{}十2x十3>0的解集为R 所以原不等式的解集为R; (4)因为不等式4十3x-x{二0的二次项系数-1<0,所以先将不等式4+3x- r二0的二次项系数化为大于零的数,即r一3x-4<0. 又方程x②-3x-4-0的解为x-4,x。=-1,结合对应二次函数的图像. 所以不等式x-3x-4<0的解集为{x -1 x4 所以原不等式的解集为x-1x4。 例2 解不等式-3<4x-4x<0. 14x-4r<0. [x>1或x<0. 【解析】 原不等式等价于 即 4x-4x2>-3. 2 (#-。#{#)# 题型二:一元二次不等式的应用 例3 当x取何值时,V5^{-6x-8有意义? 【解析】 由题意,可知,要使 5x-6x-8有意义,应使5x}-6x-8>0 因为不等式5x{}一6x一8二0的二次项系数大于0 且方程5x-6x-8-0的两个解为x.-2,x。-- 4 , #{#-## 所以不等式5x*-6x-80的解集为{ 例4 当n取何值时,方程mx^{②}-(1一m)x十m-0(mER)有实根? 【解析】 ①当m-0时,x-0; ②当m:0时,由方程mx②-(1-m)x十m=0对应的判别式△>0,得(1-m)②} -.7翻 由①②知,n的取值范围是 例5 已知关于x的不等式ax{}+bx十c<o的解集是x x<n或x>n)(n< n<0),求关于x的不等式cx{-bx十a>0的解集 中职高考数学备考总案 【解析】 因为ax}+bx+c 0的解集是xlx<m或x>n(m n 0). 所以a 0,且ax{十bx十c-0的两个根分别为m,n 所以n十n-- 由不等式c^x-b+a→o,得_# d n. 故不等式cx{-bx十a>o的解集是 例6 3 <0,b去0. 8 (1)若不等式的解集为(-3,1),求的值; (2)若不等式的解集为R,求处的取值范围 3 (1)由题意,知,一 【解析】 一0的两个根,