2.1 不等式的基本性质-2024年中职高考数学复习总案

第二章 不等式 知识结构 1. 加法性质 不等式的性质 乘法性质 传递性质 比较大小 作差法 不等式 有限区问 区问的表示 无限区间 一元二次不等式的解法 绝对值不等式的解法 第一节 不等式的基本性质 知识支架 1. 1.比较实数大小的方法 (1)一般地,对于两个任意的实数a和5,有 a-b>0-→a>b. a-b-0-a-b. a-b<0-a<b (2)比较实数(式子)的大小 作差法的一般步骤 中职高考数学备考总案 第一步,作差。 第二步,变形,常采用因式分解(将“差”化成“积”)或配方(将“差”化为常数与几 个平方和的形式)等恒等变形手段 第三步,定号,最后下结论 因此,比较两个实数的大小,只需要考察它们的差即可 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提示 对称性 a>→之a 传递性 a>,>c→a>c → 可加性 a>b一a十c>b十 2 a>b c0 →ac>be 可乘性 注意。的符号 a>b) →ac<bc c<0 a>b →a十c>b十d 同向可加性 → c_>d{ a>>0 →ac>bd 同向同正可乘性 → c>>0 可乘方性 a>b0→a"b” (nN.n二1) a,同为正数 可开方性 >0→□ (nCN,n2) 3.不等式的其他性质 (1)倒数性质 11 ①a>b,ab>o→ ); ②<0→1. &; ③a>b>0,0<c→# : 20 第二章 不等式 ④0<a< <b或a<x<b<0→$ (2)分数性质 若a>6>0,m>0,则 ①真分数的性质: #$-mbb+(b-m>0);# a-m a a+m ②假分数的性质 b+m # 6-6-m 考点例析 例1 设a,b为两个不相等的实数,比较ab一a^{}与6^{}一ab的大小 【解析】ab-a}-(6}-ab)=ab-a?-b2+ab=-(a-b)②}。 因为a关b, 所以a-b子0. 所以(a-b)>0, 即一(a-b)之0, 故ab-a?<6?-ab. 【点评】比较实数的大小常用“作差比较法”.“作差比较法”的步骤:①作差;② 对差进行变形(常常化为因式之积或因式之商或完全平方的形式);③判断差的符 号;①给出结论. 例2用符号“”或“<”填空: (1)若a<b<o,则a2 2; (2)若a<b<0,c<d<0,则ac bd. 【解析】(1)方法一(不等式的性质推导法): 因为a<b,a0 所以a2>ab. 因为a<b,b0. 所以ab>b: 所以a>a>b,即a>b{。 方法二(特殊值法) 令a--2,b--1,得a}-4,6-1.故a>b*。 中职高考数学备考总案 方法三(利用函数的单调性); 当x 0时,函数f(x)一x^*}为减函数. 因为ab0. 所以f(a)>f(b),即a{>b^{②}。 方法四(作差法) a-b*-(a十b)(a-b). 因为a 0,b<0,所以a+b<0 又因为a{b,所以a-b<0 所以(a十b)(a-b)>0. 所以a{}-b^{>0,即a}→b^{}。 (2)方法一(不等式的性质推导法): 因为a<b<0,c<0,所以ac>bc. 因为c<d<0,b<0,所以bc>b$d$. 所以ac>bc>bd, 即ac>bd. 方法二(特殊值法): 令a=-2,b--1,c=-4,d--3, 得ac=(-2)x(-4)-8,bd=(-1) (-3)-3. 故ac>bd. 方法三(作差法) a-bd=ac -bc +bc-bd=(a-b)c +b(c -d), 因为a<b,所以a-b<0. 又因为c<0,所以(a-b)c>0,同理b(c-d)>0 所以(a-b)c十b(c-d)>0 故ac>bd. 【答案】(1)> (2)) 【点评】 本例旨在考查不等式基本性质的运用,即方法一的解法, 例3 解下列不等式(组): (2) -3x+4~8-x. (1)2_3 # <x十1; x十3>4十2x. 【解析】 (1)利用不等式的性质3,将原不等式的两边同时乘2,得x一3~2 士2. 22 第二章 不等式 移项整理,得一15. 利用不等式的性质3,将不等式的两边同时乘一1,得x-5 故原不等式的解集为xx一5. (2)由不等式-3x+4 8-x,得x>-2;由不等式x+3>4+2x,得x -1 求它们的交集得-2x-1. 故原不等式组的解集为x 一2<x<-1) 【点评】:解一元一次不等式的基本步骤:去分母,移项,合并同类项,系数化为 1.各个步骤都运用了不等式的基本性质,解一元一次不等式组的步骤;第一步,逐个 解出不等式组中的各个不等式;第二步,求它们的交集。 反馈巩固 一、选择题 <一1.其中成立的不等式的个数为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若实数a>b且c>d,有下列四个不等式;①a+c>b十d;②ac>bd;③a二