6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.3.1 余弦定理 人教2019A版必修 第二册 学习目标 【教学目标】 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.学会运用方程思想解决两边及一角的问题. 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题. 呈现背景 提出问题 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 呈现背景 提出问题 如图，在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c，怎样用a、b和C表示c？ 分析联想 寻求方法 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 你能用其他方法证明余弦定理吗？ 猜想验证 得出结论 法一：运用勾股定理 分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况 法二：坐标化 运用三角函数定义、两点间距离公式 思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 已知两边夹一角求第三边（SAS型） 已知三边求任意一个角（SSS型） 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 已知两边及一角求第三边（方程，知三求一） 余弦定理与勾股定理的关系 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？ 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 解三角形的定义 一般地，三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，A＝30°，求a的值. (2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值. 例1 运用新知 巩固内化 余弦定理可以解决的问题： (1)已知两边及其夹角，利用余弦定理可求出第三边； (2)已知两边及一边对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边； (3)已知三边，利用余弦定理求出角的余弦值，进而求出角. 反思感悟 练习 √ 1.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则最大角的大小为________. 例2 用余弦定理证明：在△ABC中，当C为锐角时，a2+b2>c2；当C为钝角时，a2+b2<c2． 利用余弦定理判断三角形形状 思考： (1)△ABC为锐角三角形是a2+b2>c2的_________条件； (2)△ABC为钝角三角形是a2+b2>c2的_________条件. 练习 已知钝角三角形△ABC三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围． 例3 在△ABC中，若acos B＝bcosA，试判断该三角形的形状. 反思感悟 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需从“统一”入手：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例． 2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型 (1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形． 3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍． 二、方法归纳：转化化归、数形结合. 三、常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 一、知识清单： 回顾反思 拓展问题 2.在△ABC中，已知a=ccosB，则△ABC的形状是 . 直角三角形 练习1 1.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 18 练