培优练习3　三角形中的边长和周长的最值范围问题-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

培优练习3� 三角形中的边长和周长的最值范围问题 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁·期中）在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·山东济南·开学考试）在锐角中,若,且,则不能取到的值有（     ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·福建龙岩·期中）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则满足条件的三角形只有1个 B．面积的最大值为 C．周长的最大值为 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 8．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题 9．（2022高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ． 10．（2024高三·广东·专题练习）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，求的周长的取值范围. 12．（2024高三·江苏·专题练习）如图，中，角、、的对边分别为、、. (1)若，求角的余弦值大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理的 又因为，可得， 所以， 即， 因为，可得，可得，即， 解得或（舍去）， 因为，所以，则， 又因为外接圆半径为，所以， 又由 ， 因为为锐角三角形，且，所以且， 解得，可得，所以， 所以. 故选：C. 2．D 【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 由正弦定理可得 ， 因为、，则， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，所以，， 则， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 所以， ， 令，则函数在上为增函数， 故， 故选：D. 3．C 【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求. 【详解】根据三角形三边关系可得，即， 又， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，又为三角形的内角， 所以， 所以. 故选：C. 4．D 【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得，从而得到的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解. 5．C 【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可. 【详解】因为，得． 由余弦定理得， 所以，即． 由正弦定理得， 因为，则， 所以，即． 因为是锐角三角形，所以，，所以． 又在上单调递增，所以，则． 因为是锐角三角形，所以，，， 所以， 由正弦定理得 ， 令，因为，所以． 在上单调递增， 当时，，当