6.4.3.4三角形中的几何计算（面积）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.4 三角形中的几何计算（面积） 1.如何计算直角三角形的面积？ 学习目标 1、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 2、能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题 自主探究：如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？ 1.三角形的面积公式 2.适用范围与条件： (1)范围：三角形的面积公式适用于所有的三角形；(2)条件：已知三角形两边及夹角；若已知条件并非两边及夹角可先解三角形，构造条件. 题型1三角形面积的计算 例1　条件①：a＝4，c＝6；条件②：a＝4，△ABC为等腰三角形．在△ABC中，cos C＝－，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)sin B的值； (2)△ABC的面积． 解析：选择条件①：a＝4，c＝6；在△ABC中，cos C＝－，a＝4，c＝6； (1)∵cos C＝－，∴C∈，sin C＝＝＝， 由正弦定理得：＝，即＝， 解得sin A＝，A∈∴cos A＝＝＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝，即sin B＝. (2)S△ABC＝ac sin B＝×4×6×＝3， 即△ABC的面积为3. 选择条件②：a＝4，△ABC为等腰三角形； (1)∵cos C＝－，∴sin C＝＝，且C为钝角． ∴只能A＝B，∴a＝b＝4， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cosC得：c2＝42＋42－2×4×4×解得：c＝6. 由正弦定理得：＝，即＝， 解得sin A＝，∴cos A＝＝＝， 所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 即sin B＝. (2)S△ABC＝ac sin B＝×4×6×＝3， 即△ABC的面积为3. 【方法归纳】 (1)①S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高) ②S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半． ③S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为△ABC的内切圆半径)． (2)在三角形面积的求解过程中，注意对正弦定理、余弦定理的熟练应用，以及通过隐含条件确定角的取值范围，再利用面积公式求得结果． 跟踪训练1　在①b2＋ac＝a2＋c2，②a cos B＝b sin A，③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝. (1)求角B； (2)求△ABC的面积． 解析：若选①：(1)由b2＋ac＝a2＋c2，得：cos B＝＝，∴B＝，∴C＝π－＝. (2)根据(1)由正弦定理得：c＝×sin C＝×sin ＝＝(1＋)，∴S△ABC＝bc sin A＝(1＋)×＝. 若选②：(1)∵a cos B＝b sin A， ∴sin A cos B＝sin B sin A， 又∵在△ABC中，sin A≠0， ∴cos B＝sin B， ∴B＝. (2)同选①中的(2)． 若选③：(1)∵sin B＋cos B＝， ∴sin ＝， ∴sin ＝1. 在△ABC中，B＋＝，∴B＝. (2)同选①中的(2)． 题型2利用三角形面积公式解三角形 例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝，且△ABC的面积为. (1)求a的值； (2)若D为BC上一点，且________，求sin ∠ADB的值． 从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 解析：(1)因为c＝1，A＝，S△ABC＝bcsin A＝，所以b＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得a＝. (2)①当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理＝，即＝，所以sin B＝.因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝B，所以sin ∠ADB＝sin B，所以sin ∠ADB＝. ②当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知， cos B＝＝＝. 因为A＝，所以∠DAB＝＝， 所以B＋∠ADB＝，所以sin ∠ADB＝cos B， 所以sin ∠ADB＝. 【方法归纳】 根据题设条件选择面积公式的形式，再结合正弦定理、余弦定理解三角形． 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＜b＜c，a2－c2＝b2－，a＝3，△ABC的面积为6. (1)求角A的正弦值； (2)求边长b，c的值． 解析：(1)由a2－c2＝b2－，得＝， 即cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝. (2)∵S△ABC＝bc sin A＝bc·＝6，∴bc＝20.　① 由＝及bc＝20，a＝