专题04 指数函数与对数函数（知识梳理+10大考点专训）-【中职专用】备战2024年浙江省“面向人人”职业能力大赛数学专项突破

浙江省中等职业学校职业能力大赛面向人人第4章 指数函数与对数函数考点专项复习 一、本章知识点脉络 二、考纲要求 知识内容 认知要求 说　明 了解 理解 掌握 4.1有理数指数幂 √ （1）有理数指数幂要与整数指数幂知识衔接 （2）通过幂与对数的计算，培养学生计算工具使用技能；结合生活、生产实例，讲授指数函数模型，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力 （3）重点是指数函数与对数函数的性质及应用 4.2实数指数幂及其运算法则 √ 4.3指数函数的图像和性质 √ 4.4对数的概念（含常用对数、自然对数） √ 4.5积、商、幂的对数 √ 4.6对数函数的图像和性质 √ 三、知识精讲 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，. (2)n为偶数时， (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0? 提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值． ②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0. 4．有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a>0，是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 6．指数函数的概念 一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 7．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势． 思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律． 8．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 9．常用对数与自然对数 10．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)(a>0，且a≠1)． (3)(a>0，且a≠1)． 思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式时，不存在N≤0的情况． 十一．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)； (2)； (3)(n∈R)． 思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ 提示：不一定． 12．对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有. 13．对数函数的概念 函数(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式． 14．对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？ 提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降． 当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 15．反函数 指数函数(a>0，且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数． 16