第32期 一元线性回归 成对数据的线性相关性-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 １．某商场经营一批小商品，根据销售经验，此商品 的日销售量Ｙ（单位：台）关于销售单价Ｘ（单位：元）的 线性回归方程是Ｙ＝１６１－３Ｘ，由此估计，当销售单价为 ３５元时，此商品的日销售量为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）３０台 （Ｂ）４１台 （Ｃ）５０台 （Ｄ）５６台 ２．对具有线性相关关系的变量 ｘ，ｙ，有一组观测数 据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，…，８），其线性回归方程是Ｙ＝ １ ３Ｘ ＋ａ，且ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋… ＋ｘ８ ＝２（ｙ１＋ｙ２＋… ＋ｙ８）＝ ６，则实数ａ的值是 （　　） （Ａ）１１６　　（Ｂ） １ ８　　（Ｃ） １ ４　　（Ｄ） １ ２ ３．某学生在高三学年最近九次考试中的数学成绩 如下表： 第Ｘ次考试 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 数学成绩Ｙ／分 １２１１１９１３０１０６１３１１２３１１０１２４１１６ 由表中数据，求得线性回归方程 Ｙ＝ａ^＋ｂ^Ｘ，则点 （ａ，ｂ）在直线ｘ＋５ｙ－１０＝０的 （　　） （Ａ）左上方 （Ｂ）左下方 （Ｃ）右上方 （Ｄ）右下方 ４．设有一个线性回归方程为Ｙ＝２－３．５Ｘ，则变量Ｘ 增加一个单位时，Ｙ平均减少 个单位． ５．具有线性相关关系的变量 Ｘ，Ｙ的一组数据如下 表： Ｘ ２ ４ ５ ６ ８ Ｙ ２０ ４０ ６０ ７０ ８０ 根据上表，利用最小二乘法得到它们的回归直线方 程为 Ｙ＝１０．５Ｘ＋ａ，当 Ｘ ＝２０时，Ｙ的估计值为 ． ６．已知变量Ｘ，Ｙ线性相关，Ｘ与Ｙ有下列对应数据： Ｘ １ ２ ３ ４ Ｙ １２ ３ ２ ２ ３ 求Ｙ关于Ｘ的线性回归方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．甲、乙、丙、丁四位同学各自对Ｘ，Ｙ两变量的线性 相关性做试验，分别求得样本相关系数ｒ，如下表： 甲 乙 丙 丁 ｒ ０２０ －０９５ －０１２ ０８５ 则试验结果中Ｘ，Ｙ两变量有更强线性相关性的是 （　　） （Ａ）甲 （Ｂ）乙 （Ｃ）丙 （Ｄ）丁 ２．如右图所示，散点图中需要 去掉一组数据，使得剩下的四组数 据的相关系数最大，则应去掉的数 据所对应的点为 （　　） （Ａ）Ａ （Ｂ）Ｂ （Ｃ）Ｃ （Ｄ）Ｄ ３．若已知∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的两倍， ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的１．２倍，则相关系 数ｒ的值为 ． ４．在一次试验中，测得（Ｘ，Ｙ）的四组值分别为（１， ２），（２，０），（４，－４），（－１，６），则Ｘ与Ｙ的相关系数为 ． ５．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 Ｙ（单位：千件）与售价Ｘ（单位：元）之间的关系，收集５ 组数据进行了初步处理，得到下表： 售价Ｘ／元 ５ ６ ７ ８ ９ 月销量Ｙ／千件 ８ ６ ４．５ ３．５ ３ 统计学中用样本相关系数ｒ来衡量两个变量之间线 性相关关系的强弱，若 ｜ｒ｜∈ ［０７５，１］，则认为相关性 很强；若｜ｒ｜∈［０３，０７５），则认为相关性一般；若｜ｒ｜ ∈［０，０３），则认为相关性较弱．请根据表中数据计算Ｙ 与Ｘ之间样本相关系数ｒ，并说明Ｙ与Ｘ之间的线性相关 关系的强弱（精确到０．０１）． 参考数据：槡１６５≈１２８５． 参 考 公 式： 样 本 相 关 系 数 ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ． 书 当两个变量线性相关时，能准确确定线性回归方 程，有利于进一步加强数学应用意识，培养运用所学知 识分析问题和解决问题的能力，能根据线性回归方程系 数公式正确地求出线性回归方程也是本节的重点．下 面举例说明如何确定线性回归方程． 一、利用线性回归方程过定点 例１为了研究３月下旬的平均气温Ｘ（单位：℃）与 ４月２０日前棉花害虫化蛹高峰日Ｙ（单位：天）的关系， 某地区观察了２０１８年至２０２３年的情况．得到下面数据 年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３ 气温Ｘ／℃ ２４．４ ２９．６ ３２．７ ２８．７ ３０．３ ２８．９ 高峰日Ｙ／天 １９ ６ １ １０ １ ８ 则两个变量间的线性回归方程为 （　　） （Ａ）Ｙ＝７１．６－２．２Ｘ （Ｂ）Ｙ＝７６．１１７８－２．３５８Ｘ （Ｃ）Ｙ＝７１－２Ｘ （Ｄ）Ｙ＝６８６－２２Ｘ 解：ｘ＝１６∑ ６ ｉ＝１ ｘｉ＝ １ ６×（２４．４＋２９．６＋３２．７＋２８．７ ＋３０．３＋２８．９）＝２９．１， ｙ＝ １６×（１９＋６＋１＋１０＋１＋８）＝７．５， 代入选项中易知只有选项（Ｂ）中的线性回归方程 过点（２９．１，７．５）．故选（Ｂ）． 二、利用线性回归方程系数公式 例２下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量Ｘ（单位：吨）与