6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 1.余弦定理 第六章 平面向量及其应用 一 二 三 学习目标 掌握余弦定理的证明方法，掌握余弦定理公式 能从余弦定理公式推导出余弦定理的推论 能够利用余弦定理及其推论解决相应的问题 学习目标 新课导入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如：直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数. 一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题. 想要解决这一实际问题可以将其转化为怎样的数学问题呢? A B 已知一个三角形两边及其夹角，求出的第三边是唯一确定的吗？ 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距700km.飞行员为了避开雷雨云层，飞机起飞后，先沿与原方向成30°的方向飞行了500km，再改变方向，沿直线飞行抵达终点．这次飞行路程比原来的700km远了多少呢？ 新课导入 问题1 在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，怎样用a, b和C表示c？ 分析：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究. 设 ， 那么 ∴ ①转化： ②运算： ③翻译： 同理可得 新知探究 概念生成 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 余弦定理的应用：已知三角形两边及其夹角，求第三边 问题2 你能用其他方法证明余弦定理吗？ 新知探究 坐标法 a b c x y 以点C为坐标原点，CB边所在直线为x轴，其垂线为y轴，建系如图 新知探究 几何法 D a b c 新知探究 问题3 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们还可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 已知三条边求任意角 （SSS） 已知两边夹一角求第三边 （SAS） 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 问题4 观察余弦定理，你是否发现与学过的某个定理相似？ 新知探究 追问 勾股定理与余弦定理之间有什么关系呢？ 如果△ABC中有一个角是直角, 例如C=90°, 这时cosC=0. 由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 典例解析 例1 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm). 解： 类型一：已知两边及其夹角 典例解析 例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB . 解： 类型一：已知两边及其夹角 典例解析 例3 在 中,内角 所对的边分别为 其中 ， ， ，解此三角形. 解: 由余弦定理的推论得， ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 . 类型二：已知三条边求任意角 变式 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 ， 则此三角形中的最大角的大小为 . <m></m> 巩固练习 课本P44 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 巩固练习 课本P44 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 巩固练习 课本P44 2. 在△ABC中，已知 解这个三角形. 巩固练习 课本P44 3. 在△ABC中，已知b=5，c=2，锐角A满足